陕西省西安市2022-2023学年高一上学期数学第三次月考试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \lg x < 1}$ ， $B = {x | x > 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(3, 10)$ C、 $(- \infty, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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2. 函数 $f (x) = l n x - \frac{3}{x}$ 的零点所在的大致区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(e ， 3)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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3. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} + l g (x + 2)$ 的定义域为（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $[- 2 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 1]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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4. 函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 3 x + 2}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{3}{2}]$

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5. 已知 $a = l o g_{2} 0.7$ ， $b = {3^{0}}^{. 2}$ ， $c = 0 . 2^{1.3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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6. 若函数 $y = a^{x}$ $(a > 0 且 a \neq 1)$ 的反函数在定义域内单调递增，则函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 1)$ 的图象大致是(　　)

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x > 0 \\ (\frac{1}{3})^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{8}))$ 的值

A、9 B、 $\frac{1}{16}$ C、27 D、 $\frac{1}{81}$

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8. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (3 - a x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(0 ， 1) ∪ (1 ， 3)$ D、 $(0 ， 3)$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 1$ ， $0 < c < 1$ ，则下列表达正确的是（　　）

A、 $\log_{a} c > \log_{b} c$ B、 $\log_{c} a < \log_{c} b$ C、 $a^{c} < b^{c}$ D、 $c^{a} > c^{b}$

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10. 已知 $a^{2} + a^{- 2} = 3$ ，则 $a + a^{- 1}$ 等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、1 D、 $- 1$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ （ $e$ 为自然对数的底数），则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 的实数解为 $x = l n 3$ C、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x < 2 \\ \frac{3}{x - 1} ， x > 2 \end{array}$ 若方程 $f (x) - a = 0$ 有三个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值可能是（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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三、填空题

13. 函数 $y = l o g_{a} (x - 2) + 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过一定点．

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14. 设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $m =$ ．

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} (a - 1) x - 2 a, x < 2, \\ {log}_{a} x, x \geq 2 \end{matrix}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 某种茶水用100℃的水泡制，再等到60℃时饮用可产生最佳口感已知茶水温度y（单位：℃）与经过时间 $t$ （单位：min）的函数关系是： $y = k a^{t} + y_{0}$ ，其中a为衰减比例， $y_{0}$ 是室温， $t = 0$ 时，y为茶水初始温度，若室温为20℃， $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{8}}$ ，茶水初始温度为100℃，则 $k =$ ℃，产生最佳口感所需时间是min．

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四、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - (- 2021)^{0}$ ；

(2)、 $2 l g 5 + \frac{2}{3} l g 8 + l g 5 \cdot l g 20 + (l g 2)^{2} + 7^{l o g_{7} 5}$ .

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m^{2} + \frac{3}{2} m + \frac{1}{2}}$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a + 1) < f (3 - 2 a)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ l o g_{2} (x + 1) ， x > 0 \end{array}$

(1)、作出函数 $f (x)$ 的图象，并写出单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - m$ 有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围

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20. 已知函数 $f (x) = l n (3 + x) + l n (3 - x)$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的定义域并判断奇偶性；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

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21. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值，并用定义证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} + 3) + f (t^{2} - t k) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 已知 $1 ≤ l o g_{2} x ≤ 3$ ， $f (x) = [l o g_{2} (4^{m} \cdot x)] (l o g_{2} \frac{4}{x})$ ， $m$ 为实数，

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最大值 $g (m)$ 的解析式；

(3)、若 $g (m) \geq t + m + 2$ 对任意 $m \in [- 4 ， 0]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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