山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {x | 2 < x < 6}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 7}$ C、 ${5 ， 7}$ D、 ${3 ， 5}$

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2. “ $0 < x < 2$ ”是“ $x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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4. 下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）

A、 $- \sqrt{x} = (- x)^{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt[6]{y^{2}} = y^{\frac{1}{2}}$ C、 $x^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} (x \neq 0)$ D、 $[\sqrt[3]{(- x)^{2}}]^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}} (x > 0)$

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5. 已知 $a = 2^{0.1}$ ， $b = {0.3}^{3}$ ， $c = 0.3 {}^{0.1}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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6. 函数 $f (x) = x^{2} - a x + 1$ ，对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 2)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则实数 $a$ 的范围为（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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7. 函数 $f (x) = \frac{a x + b}{(x + c)^{2}}$ 的图象如图所示，则（）

A、 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ B、 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ C、 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c < 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$

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8. 我们知道： $y = f (x)$ 的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为： $y = f (x)$ 的图像关于 $(a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $a = f (1) + f (2) + ⋯ + f (2022)$ ， $b = f (0) + f (- 1) + ⋯ + f (- 2020)$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 8086$ B、 $- 8084$ C、 $8084$ D、 $8086$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{1}{\sqrt{b}}$ D、 $a^{2} > a b$

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10. 下列函数中，值域为 $[1 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = \sqrt{x - 1}$ B、 $y = | x | + 1$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$

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11. 下列函数中，满足对 $\forall x_{1} < x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 的是（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = x^{3}$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = e^{- x}$

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12. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减 B、关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (2 x - 1) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ C、关于 $x$ 的方程 $f (x) = x$ 有三个实数解 D、 $\forall x_{1}$ ， x₂∈ R， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < 2$

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三、填空题

13. 已知函数 $y = 2 a^{x - 1} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 恒过定点 $A (m ， n) ，$ 则 $m + n =$ ．

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14. 计算： ${(2 \frac{7}{9})}^{0.5} + {(2 \frac{10}{27})}^{- \frac{2}{3}} - 2 π^{0} + \frac{37}{48} =$ ．

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15. 已知不等式 $a x^{2} - b x - 1 \geq 0$ 的解集是 ${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq - \frac{1}{3}}$ ，则不等式 $x^{2} - b x - a < 0$ 的解集是.

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16. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} ， x < 0 ， \\ e^{x} ， 0 \leq x \leq 1 ， \\ 3 - x ， x > 1 . \end{array}$ 若互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3})$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $A = {x | - 1 < x \leq 3}$ ， $B = {x | m < x \leq 1 + 3 m}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{R} A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：① $5$ 公里以内(含 $5$ 公里)，票价 $2$ 元；② $5$ 公里以上，每增加 $5$ 公里，票价增加 $1$ 元(不足 $5$ 公里的按 $5$ 公里计算)．如果某条线路的总里程为 $20$ 公里，

(1)、请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；

(2)、画出该函数的图象．

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19. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、写出函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、写出 $y = f (x)$ 的单调递增区间和值域（无需过程）．

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20. 设函数 $f (x) = x^{2} - (a + 3) x + 3 a ， a \in R$ .

(1)、解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、当 $x \in [4 ， + \infty)$ 时，不等式 $f (x) \geq - 9$ 恒成立，求a的取值范围.

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21. 设矩形 $A B C D$ 的周长为 $20$ ，其中 $A B > A D$ ．如图所示，把 $△ A B C$ 它沿对角线 $A C$ 向 $△ A D C$ 折叠， $A B$ 折过去后交 $D C$ 边于点 $P$ ．设 $A D = x$ ， $D P = y$ ．

(1)、将 $y$ 表示成 $x$ 的函数，并求定义域；

(2)、当 $A D$ 长为多少时， $△ A D P$ 的面积最大，并求出最大值．

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22. 设 $a$ 为正数，函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，满足 $f (0) = 1$ 且 $f (x) = f (\frac{2}{a} - x)$ ．

(1)、若 $f (1) = 1$ ，求 $f (x)$ ；

(2)、设 $g (x) = \sqrt{x}$ ，若对任意实数 $t$ ，总存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [t - 1 ， t + 1]$ ，使得 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \geq g (x_{3}) - g (x_{4})$ 对所有 $x_{3}$ ， $x_{4} \in [1 ， 4]$ 都成立，求 $a$ 的取值范围．

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