山东省济宁市兖州区2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. “ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {y | y = x^{2} + 3 ， x \in R}$ ， $B = {x | - 2 < x < 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 3]$ D、 $[- 2 ， 3)$

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3. 幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 C、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 D、既不是奇函数，也不是偶函数，在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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4. 函数 $f (x) = x + \frac{|x|}{x}$ 的图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $x > 2 ， y > 1 ， (x - 2) (y - 1) = 4$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、1 B、4 C、7 D、 $3 + \sqrt{17}$

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6. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 0) ∪ (0 ， 3)$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup (0 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (4 ， 7)$

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7. 已知a>b>c，若 $\frac{1}{a - b} + \frac{4}{b - c} \geq \frac{m}{a - c}$ 恒成立，则m的最大值为（）

A、3 B、4 C、8 D、9

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8. 我们知道： $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为： $y = f (x)$ 的图像关于 $(a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 的对称中心为 $(m ， n)$ ，则 $f (2022) + f (2021) + f (2020) + ⋯ + f (1) + f (0) + f (- 1)$ $+ ⋯ + f (- 2018) + (- 2019) + f (- 2020) =$ （）

A、 $- 8086$ B、 $- 8084$ C、8084 D、8086

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二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、若a>b，则 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$ B、若-2<a<3，1<b<2，则-3<a-b<1 C、若a>b>0，m>0，则 $\frac{m}{a} < \frac{m}{b}$ D、若a>b，c>d，则ac>bd

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10. 以下从M到N的对应关系表示函数的是（）

A、 $M = R ， N = {y | y \geq 0} ， f ： x \to y = | x |$ B、 $M = {x | x \geq 2 ， x \in N^{*}} ， N = {y | y \geq 0 ， y \in N^{*}} ， f ： x \to y = x^{2} - 2 x + 2$ C、 $M = {x | x > 0} ， N = R ， f ： x \to y = \pm \sqrt{x}$ D、 $M = R ， N = R ， f ： x \to y = \frac{1}{x}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 a x + 5 ， & x < 1 \\ - \frac{a}{x} ， & x \geq 1 \end{array}$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是减函数，则整数a的取值可以为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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12. 已知函数 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{2}{x}$ ．记 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， & a \geq b \\ b ， & a < b \end{array}$ ，则下列关于函数 $F (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x \neq 0)$ 的说法正确的是（）

A、当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $F (x) = \frac{2}{x}$ B、函数 $F (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $F (x)$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上单调递减 D、若关于 $x$ 的方程 $F (x) = m$ 恰有两个不相等的实数根，则 $- 2 < m < - 1$ 或 $m > 1$

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三、填空题

13. 函数 $f (x)$ = $\frac{\sqrt{x - 3}}{| x + 1 | - 5}$ 的定义域为

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14. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 2$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为.

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15. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，则满足 $f (2 x - 1) > f (1)$ 的解集.

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16. 设f（x）＝2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（1，5），则f（x）=；若对于x∈[1，2]，不等式f（x）≤2+t有解，则实数t的取值范围为.

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四、解答题

17. 集合 $A = {x | 3 \leq x < 10}$ ， $B = {x | 1 < 3 x - 5 < 16}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cap B$ ．

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18. 已知命题p：实数x满足 $\frac{2 x + 1}{x - 2} \geq 1$ ，命题q：实数x满足 $x^{2} - (2 m + 1) x + m (m + 1) \geq 0$ .

(1)、求命题p为真命题，求实数x的取值范围；

(2)、若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

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19. 已知 $f (x)$ 是二次函数， $f (x) > 0$ 的解集是 ${x | - 3 < x < 5}$ ，且 $f (0) = 15$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；并求当 $x \in [- 1 ， 4]$ 时，函数 $f (x)$ 的最值；

(2)、令 $g (x) = (1 - 2 m) x - f (x)$ ．若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上不是单调函数，求实数m的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性．

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21. 第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且 $R = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + a x ， 0 \leq x < 40 \\ \frac{901 x^{2} - 9450 x + 10000}{x} ， x \geq 40 \end{array}$ .经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)、求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)、2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个不同的根，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、令 $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 t f (x) (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ 都有 $| h (x_{1}) - h (x_{2}) | \leq \frac{15}{4}$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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