辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11}$ ， $B = {x | 3 < x < 15}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 命题p： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 1$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 1$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 1$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 1 < 1$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 1 \geq 1$

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3. 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位高中数学教材中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱问合伙人数、羊价各是多少？（）

A、21、105 B、21、150 C、24、165 D、24、171

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4. 若函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域是 $(- 1 ， 1)$ ，则函数 $g (x) = f (| x |)$ 的定义域是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 是偶函数，它在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递增，则 $f (- 3)$ ， $f (\sqrt{7})$ ， $f (π)$ 的大小关系是（）

A、 $f (- 3) < f (\sqrt{7}) < f (π)$ B、 $f (- 3) < f (π) < f (\sqrt{7})$ C、 $f (π) < f (- 3) < f (\sqrt{7})$ D、 $f (\sqrt{7}) < f (- 3) < f (π)$

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6. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 ， x \geq 10 \\ f [f (x + 6)] ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (5)$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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7. 已知函数 $f (x)$ 在R上单调递减，则 $f (\sqrt{x^{2} - 3 x - 4})$ 的单调递增区间为（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + a}{x + 1}$ $(x \geq 0)$ 的值域为 $[a ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[1 ， 2]$

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二、多选题

9. 在下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ B、 $f (x) = | x + 1 |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \geq - 1 \\ - 1 - x ， x < - 1 \end{array}$ C、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{0}$ D、 $f (x) = \frac{{(\sqrt{x})}^{2}}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{{(\sqrt{x})}^{2}}$

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10. 下列选项中，说法正确的是（）

A、命题 $P$ ：“ $\exists m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 是增函数”的否定为“ $\forall m \in R$ ， $f (x) = m x - 1$ 是减函数” B、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ”的充分不必要条件 C、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a - c > b - d$ D、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{- x}{| x | + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ D、方程 $f (x) + x^{2} = 0$ 有两个实数根

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12. 已知函数 $y = x^{2} + a x + b$ （ $a > 0$ ）有且只有一个零点，则（）

A、 $a^{2} - b^{2} \leq 4$ B、 $a^{2} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ D、若不等式 $x^{2} + a x + b < c$ 的解集为 $(x_{1} ， x_{2})$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，则 $c = 4$

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三、填空题

13. 已知函数 $g (\sqrt{x} + 1) = 2 x + 3$ ，则 $g (3) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x^{2} ， x \leq - 1 \\ (2 k - 1) x + 1 ， x > - 1 \end{array}$ 为 $R$ 上的增函数，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 1$ ，则 $(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b})$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 3) x + 6 (a \in R)$ ，且不等式 $f (x) \leq - 2$ 无解，求实数 $a$ 的取值范围．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {x \in N | 1 < x \leq 4}$ ， $B = {x \in R | x^{2} - 3 x + 2 = 0}$

(1)、用列举法表示集合 $A$ 与 $B$ ；

(2)、求 $A \cap B$ 及 $∁_{U} (A ∪ B)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x - 3$ .

(1)、当 $a = 2$ ， $x \in [- 2, 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 3]$ 上的最大值为1，求实数a的值．

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19. 已知 $p ： \frac{2 x - 7}{x - 5} < 1$ ， $q ： x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} < 0$ 其中 $m > 0$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，且 $p$ ， $q$ 都是真命题，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x + b}{x^{2} - 1}$ 是定义域 $(- 1, 1)$ 上的奇函数.

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ .

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21. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数，且当 $x \in [- 2 ， 0)$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的解析式.

(2)、若 $f (x) \geq m^{2} - 2 a m - 9$ 对所有 $x \in [- 2 ， 2]$ ， $a \in [- 1 ， 1]$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价 $P (x)$ （元）与时间 $x$ （元）的函数关系近似满足 $P (x) = 1 + \frac{k}{x}$ （ $k$ 为正实数）．该商品的日销售量 $Q (x)$ （个）与时间 $x$ （天）部分数据如下表所示：
第 $x$ 天
10
20
25
30
$Q (x)$ 个
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下两种函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ， ② $Q (x) = a | x - 25 | + b$ ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q (x)$ 与时间 $x$ 的关系，并求出该函数的解析式；

(3)、在（2）的情况下，求该商品的日销售收入 $f (x) (0 \leq x \leq 30 ， x \in N_{+})$ （元）的最小值．

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第 $x$ 天	10	20	25	30
$Q (x)$ 个	110	120	125	120