辽宁省县级重点高中联合体2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $- 1 < x^{3} \leq 4$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $- 1 < x^{3} \leq 4$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} \leq - 1$ 或 $x^{3} > 4$ C、 $\exists x \notin R$ ， $- 1 < x^{3} \leq 4$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} \leq - 1$ 或 $x^{3} > 4$

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3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，即 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ， “狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义．根据“狄利克雷函数”求得 $D (\sqrt{2} + D (π)) + D (0) =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 函数 $f (x) = | x - 1 | + 1$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} - 3 x + 4}$ ，则函数 $g (x) = f (1 - x)$ 的定义域为（）

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[- 5 ， 1]$ D、 $[0 ， 5]$

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6. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - b x + 1 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{2}{m}) \cup (m ， + \infty)$ ，其中 $m > 0$ ，则 $b + \frac{1}{m}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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7. 已知实数a ， b ，则“ $a b \geq 0$ ”是“ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $x f (x) < 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0 > c$ ，则（）

A、 $b^{2} < a b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $3 a > 2 b$ D、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$

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10. 下列函数中最小值为2的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ D、 $y = 2 x^{2} - 4 x + 4$

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11. 具有 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ 性质的函数，我们称为满足变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的是（）

A、 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ B、 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} x (0 < x < 1) ， \\ 0 (x = 1) ， \\ - \frac{1}{x} (x > 1) \end{array}$

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12. 已知 $a + b = 4$ ，若定义域为R的 $f (x)$ 满足 $f (x + 2)$ 为奇函数，且对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [2 ， + \infty)$ ，均有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ．则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2 ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、 $f (a) + f (b) = 4$ D、关于x的不等式 $f (a) + f (b) + f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， 2)$

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三、填空题

13. 集合 $A = {(x ， y) | y = 1 - x}$ ， $B = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 1}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为．

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14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x)$ ：．
① $\forall x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；② $f (x)$ 在其定义域内单调递减．

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15. 已知 $x = - a$ 是函数 $f (x) = \frac{a}{x} + b$ 的一个零点，且 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > x$ ，则a的取值范围是．

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16. 已知正实数 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} + a b + b^{2} - c = 0$ ，则当 $\frac{a b}{c}$ 取得最大值时， $a + 2 b - c$ 的最大值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | a - 3 \leq x \leq 3 a + 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cup B$ ， $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知命题p： $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + 8 x + a \geq 0$ ，命题q： $\exists x \in [- 2 ， 1]$ ， $x - a + 1 > 0$ ．

(1)、若命题p为真命题，求a的取值范围；

(2)、若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．

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19. 在①使“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，②使“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ， $f (1) = 1$ ．集合 $A = {x | f (x) + 3 x - 4 < 0}$ ．

请写出一个非空集合B ， ____________．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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20. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上的解析式；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(3)、求不等式 $f (1 - x) < f (x)$ 的解集．

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21. 在汽车行驶中，司机发现紧急情况后操作刹车时需要经历三个阶段：第一阶段，司机的反应时间为 $t_{1}$ ；第二阶段，司机踩下刹车以及系统的反应时间为 $t_{2}$ ；第三阶段，汽车开始制动至完全停止，制动时间为 $t_{3}$ ，制动距离为d ．已知 $t_{3}$ 和d的大小取决于制动时汽车时速v（单位： $m/s$ ）和汽车的类型，且 $d = \frac{3 v^{2}}{2 k}$ ， $t_{3} = \frac{3 v}{k}$ （k为汽车刹车时的对应参数）假设第一阶段和第二阶段汽车均以时速v作匀速直线运动，取 $t_{1} = 0.8 s$ ， $t_{2} = 0.2 s$ ．

(1)、已知某汽车刹车时的对应参数 $k = 60$ ，司机发现障碍物后，紧急操作刹车的总时间为3s，若要保证不与障碍物相撞，求司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离；

(2)、若不同类型汽车刹车时的对应参数k满足 $30 \leq k \leq 60$ ，某条道路要求所有类型的汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离不大于75m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？

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22. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) - x^{2} - x$ 为奇函数， $f (x) + x$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $a \neq 0$ ，对任意的 $x ∈ R$ ， $x + 1 \leq a x^{2} + b x + c \leq f (x)$ 恒成立，求 $b c + 3 a$ 的最大值．

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