辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 1)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 平行的是（）

A、 $(1 ， 1 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 3 ， 5)$ C、 $(2 ， - 3 ， 5)$ D、 $(- 4 ， 6 ， - 2)$

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2. 两条平行直线 $2 x - y + 3 = 0$ 和 $a x - 3 y + 4 = 0$ 间的距离为 $d$ ，则 $a$ ， $d$ 分别为（）

A、 $a = 6$ ， $d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $a = - 6$ ， $d = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $a = - 6$ ， $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $a = 6$ ， $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$

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3. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面BCD， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B C = C D$ ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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4. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知 $Δ A B C$ 的顶点 $A (0 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (- 6.0)$ ，则其欧拉线的一般式方程为（）

A、 $3 x + y = 1$ B、 $3 x - y = 1$ C、 $x + 3 y = 0$ D、 $x - 3 y = 0$

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5. 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则“ $x = 4 ， y = - 5 ， z = 2$ ”是“P，A，B，C四点共面”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | ： | B F_{2} | ： | A F_{2} | = 12 ： 5 ： 13$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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7. 已知棱长都为3的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D ， E$ 分别为棱 $B B_{1} ， C C_{1}$ 上的点，当 $A_{1} D + D E + E A$ 取得最小值时， $D E$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{30}}{20}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{20}$

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8. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形 $A F_{1} F_{2} B$ 的高为c（其中c为半焦距），且 $\vec{A F_{1}} = 3 \vec{B F_{2}}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 若方程 $\frac{x^{2}}{3 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 所表示的曲线为 $C$ ，则下面四个命题中正确的是（）

A、若 $C$ 为椭圆，则 $1 < t < 3$ B、若 $C$ 为双曲线，则 $t > 3$ 或 $t < 1$ C、曲线 $C$ 可能是圆 D、若 $C$ 为双曲线，则焦距为定值

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆的上顶点和右顶点分别为 $A$ ， B，若 $P$ 为椭圆上任意一点，且 $P ， Q$ 关于坐标原点对称，则（）

A、 $| P F_{2} | + | Q F_{2} | = \sqrt{6}$ B、 $△ P Q B$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 四边的平方和的最小值为12 D、椭圆上存在无数个点 $M$ ，使得 $∠ F_{1} M F_{2} > \frac{π}{2}$

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11. 下列结论正确的是（）

A、若 $A (- 2 ， 3) ， B (3 ， - 2) ， C (1 ， m)$ 三点共线，则 $m$ 的值为0； B、已知两点 $A (- 3 ， 4) ， B (3 ， 2)$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为 $- 1 \leq k \leq 1$ ； C、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且仅有3个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1； D、与圆 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 2$ 相切，且在 $x$ 轴､ $y$ 轴上的截距相等的直线有三条.

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12. 如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中 $A B = A D = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 45 °$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{11}$ B、 $A C_{1} ⊥ D B$ C、直线AC与直线 $B D_{1}$ 是相交直线 D、 $B D_{1}$ 与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 一条光线从点 $A (1 ， 2 \sqrt{3})$ 处射到 $y$ 轴上，经 $y$ 轴反射后，反射光线经过点 $B (1 ， 0)$ ，则反射光线所在直线的倾斜角是．

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 恰好满足下列条件中的两个：①过点 $M (3 ， 3 \sqrt{2})$ ；②渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ；③离心率 $e = \sqrt{2}$ ．则双曲线C方程为．

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15. 如图，两条异面直线a，b所成角为 $60 °$ ，在直线上a，b分别取点 $A^{'}$ ， E和点A，F，使 $A A^{'} ⊥ a$ 且 $A A^{'} ⊥ b$ .已知 $A^{'} E = 2$ ， $A F = 3$ ， $E F = 5$ .则线段 $A A^{'} =$ .

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $A C$ 上的动点.
①当 $P$ 为 $A C$ 的中点时， $△ B_{1} P D_{1}$ 面积最小；
②无论 $P$ 在线段 $A C$ 的什么位置，均满足 $B_{1} P ⊥ B D_{1}$ ；
③在线段 $A C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $c o s ∠ B_{1} P D_{1} = \frac{1}{4}$ ；
④三棱锥 $D - P A_{1} C_{1}$ 的体积为定值.
以上正确结论的序号为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{c} = (x ， 2 ， 2)$ .

(1)、当 $| \vec{c} | = 2 \sqrt{2}$ 时，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求实数x和k的值；

(2)、当 $x = - \frac{1}{2}$ 时，求证：向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面.

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18. 圆心在直线 $2 x + y = 0$ 上的圆C，经过点 $A (2 ， - 1)$ ，并且与直线 $x + y - 1 = 0$ 相切

(1)、求圆C的方程；

(2)、圆C被直线 $l ： y = k (x - 2)$ 分割成弧长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的两段弧，求直线l的方程.

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19. 如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．

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20. 如图，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D ， E$ 分别是 $A C ， A B$ 上的点，且 $D E / / B C$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D B$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ C D$ ，如图.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、若 $C D = 2$ ，求 $B E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值；

(3)、当 $D$ 点在何处时， $A_{1} B$ 的长度最小，并求出最小值.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为梯形，其中 $A B / / D C$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $P B ⊥ A D$ ；

(2)、若 $P B = P D$ ，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{22}}{22}$ ，点F在线段PC上满足 $P C = 3 P F$ ，求二面角 $D - B F - C$ 的余弦值.

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22. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $| A B | = \sqrt{7}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.

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