辽宁省名校联盟2022-2023学年高一上学期数学12月份联合考试试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2 x - 1} + l g x$ 的定义域为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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2. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1}$ ，集合 $B = {0 ， 1 ， 3}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， 0 ， 1 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 3}$ D、 ${- 2 ， 1}$

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3. $\forall x \in [- 2 ， 1] ， a - 2 x \geq - 1$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[- 5 ， 3]$ D、 $[- 5 ， + \infty)$

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4. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，则一元二次不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ D、 $(1 ， 2)$

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5. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常，排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为 $64 p p m$ （ $p p m$ 为浓度单位， $1 p p m$ 表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度 $y (p p m)$ 与排气时间 $t$ （分钟）之间存在函数关系 $y =$ $2^{8 - m t}$ （ $m$ 为常数），若空气中一氧化碳浓度不高于 $0.5 p p m$ 为正常，则至少需要排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳浓度达到正常状态（）

A、10 B、14 C、18 D、28

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6. 现有四个函数： $f_{1} (x) = x^{2} ； f_{2} (x) = l o g_{\frac{1}{3}} x ； f_{3} (x) = e^{x} - e^{- x} ； f_{4} (x) = l o g_{5} x$ .如下图所示是它们在第一象限的部分图像，则对应关系正确的是（）

A、① $f_{1} (x)$ ， ② $f_{3} (x)$ ， ③ $f_{2} (x)$ ， ④ $f_{4} (x)$ B、① $f_{1} (x)$ ， ② $f_{3} (x)$ ， ③ $f_{4} (x)$ ， ④ $f_{2} (x)$ C、① $f_{3} (x)$ ， ② $f_{2} (x)$ ， ③ $f_{4} (x)$ ， ④ $f_{1} (x)$ D、① $f_{3} (x)$ ， ② $f_{1} (x)$ ， ③ $f_{4} (x)$ ， ④ $f_{2} (x)$

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7. 方程 $x = e - l n x$ 的根所在的区间为（）（参考数据 $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， e)$ C、 $(e ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，且在区间 $(0 ， + ∞)$ 内单调递减，则 $f (3^{- l o g_{3} 2})$ ， $f (- 2^{0.4})$ ， $f (9^{0.1})$ 的大小关系正确的是（）

A、 $f (3^{- l o g_{3} 2}) > f (9^{0.1}) > f (- 2^{0.4})$ B、 $f (3^{- l o g_{3} 2}) > f (- 2^{0.4}) > f (9^{0.1})$ C、 $f (9^{0.1}) > f (3^{- l o g_{3} 2}) > f (- 2^{0.4})$ D、 $f (9^{0.1}) > f (- 2^{0.4}) > f (3^{- l o g_{3} 2})$

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二、多选题

9. 若实数 $\frac{a_{n}}{b_{n}} - \frac{a_{n + 1}}{b_{n + 1}} + 2 = 0$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $a + c > b + c$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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10. 已知正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b \leq 4$ B、 $a^{2} + b^{2} \leq 3$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq \frac{9}{4}$ D、 $\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq 1$

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11. 幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 3 m - 1) x^{| m - 1 |}$ 满足，对于定义域中任意的 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，恒有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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12. 函数 $f (x) = l o g_{7} x$ 的图象与函数 $g (x) = - x + 3$ 的图象交于点 $P (a ， b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b = 7$ B、 $7^{b} = a$ C、 $b + 7^{b} = 3$ D、 $a + b = 3$

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三、填空题

13. 设 $p ： x < 3 ， q ： x ⩽ 2$ ，则 $p$ 是 $q$ 的.（填入“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”）

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14. 已知函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[2 ， 4]$ ，则 $f (2 x + 3)$ 的定义域为.

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15. 若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $f (x + 1)$ 是奇函数， $f (0) = 1$ ，则 $f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) =$ .

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16. 已知函数 $u (x) = a x^{2} - 5 x + 5 a (x ⩾ 0) ， v (x) = | a |^{x} + | a | (x < 0)$ ，其中实数 $a \neq - 1 ， 0 ， 1$ ，若对于 $\forall x_{2} < 0 ， \exists x_{1} > 0$ 使得 $u (x_{1}) = v (x_{2})$ ，则 $a$ 的一个可能的取值为.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(\frac{9}{4})}^{- \frac{2}{5}} \times (π - 3)^{0} - 2^{\frac{4}{3}} \times \sqrt[3]{4} - \sqrt{{(\frac{4}{9})}^{\frac{4}{5}}} + (4 - \sqrt{15})^{- 1}$ ；

(2)、 $l o g_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + l o g_{2} 36 - 5^{l o g_{5} \frac{1}{4}} - l o g_{2} 9$ .

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18. 已知集合 $∁_{R} A = {x ∣ x \leq - 1$ 或 $x \geq 3}$ ，集合 $B = {x ∣ 2 k < x < 3 + k}$ .

(1)、当 $k = - 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B$ 是空集，求实数 $k$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{3^{x}}{9^{x} + 1}$ .

(1)、求当 $x = - 2$ 时的函数值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x - \frac{a}{2}) + l o g_{a} (x - a) (0 < a < 10$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、当 $f (1) = 1$ 时，求 $a$ 的值；

(2)、若 $\forall x \in [\frac{3}{2} a ， 4 a] ， f (x) \leq 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x - 3) = - l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6 x + a)$ .

(1)、当 $a = 8$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间，并利用定义进行证明；

(2)、当 $a = 10$ 时，不等式 ${[f (x)]}^{2} - 2 m f (x) \geq 2 - 2 m$ 对 $x \in [\sqrt{3} ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 目前各地已经陆续开展供暖工作，供暖缴费方式有两种，一种是按照流量计费，另一种是按照面积计费.现一小组随机抽查某小区一单元住户进行了解后发现，当住户中有 $x % (0 < x < 100)$ 成员按照流量方式缴费时，人均缴费费用为 $f (x) = {\begin{array}{l} 20 x + \frac{48000}{x} + 100 ， 0 < x \leq 60 \\ 2300 ， 60 < x < 100 \end{array}$ （单位：元），而按照面积方式缴费的人均缴费费用不受 $x$ 的影响，为固定值2100元，请根据上述提供的信息解决下面问题：

(1)、当 $x$ 取得何值时，满足流量方式缴费的人均缴费费用等于按照面积方式缴费的人均缴费费用；

(2)、已知该小区这一单元住户的人均缴费费用计算公式为 $F (x) = f (x) \cdot x % + 2100 \cdot (1 - x %)$ ，讨论 $F (x)$ 的单调性.

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