辽宁省葫芦岛市协作校2022-2023学年高三上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $z = (4 - 3 i) (2 + i)$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $a = l n 2$ ， $b = l o g_{\sqrt{3}} 2$ ， $c = 2^{1.1}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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3. 函数 $f (x) = x^{2} - 4 e^{x} + 1$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + 4 y + 12 = 0$ B、 $4 x + y + 3 = 0$ C、 $x - 4 y - 12 = 0$ D、 $4 x - y - 3 = 0$

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b = 2$ ， $c o s B = \frac{1}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = n s i n \frac{n π}{3}$ ，则 $S_{2022} =$ （）

A、0 B、 $- 1011 \sqrt{3}$ C、 $- 1012 \sqrt{3}$ D、 $- 1008 \sqrt{3}$

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6. $1360$ 年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 小时 B、 $\frac{2}{3}$ 小时 C、 $\frac{3}{4}$ 小时 D、 $\frac{7}{8}$ 小时

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7. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + b$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图像如图所示，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、0 B、2 C、 $1 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2），若点P在 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P O} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多选题

9. 已知 $c o s α = - \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ， $c o s (α + β) = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，且 $0 < α < β < π$ ，则（）

A、 $t a n 2 α = - \frac{8 \sqrt{3}}{47}$ B、 $t a n 2 α = - \frac{4 \sqrt{3}}{47}$ C、 $β = \frac{π}{3}$ D、 $β = \frac{2 π}{3}$

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10. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A C = A A_{1}$ ，若 $B D ⊥ A_{1} C$ ，则D可能为（）

A、 $A_{1} C$ 的中点 B、AC的中点 C、 $C C_{1}$ 的中点 D、 $△ A B C$ 的重心

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x - 1} + 2^{1 - x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 对称 D、不等式 $f (x) < \frac{5}{2}$ 的解集是 $(0 ， 2)$

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12. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $g (x) - f (3 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x - 1)$ ，且 $g (x + 2)$ 为奇函数， $g (1) = 1$ ，则（）

A、 $g (- 1) = g (3)$ B、 $f (2) + f (4) = - 4$ C、 $g (2022) = 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{2022} f (k) = - 4043$

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三、填空题

13. $| \frac{5 - 12 i}{7 + 24 i} | =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b = 6$ ， $B = 30 °$ ， $a^{2} + c^{2} = 3 \sqrt{3} a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， λ)$ ， $\vec{b} = (λ ， 8)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为钝角，则整数 $λ$ 的一个取值可以是.

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16. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 3^{n + 1}$ ，则 $a_{n} =$ ；若不等式 $a_{n} \geq \frac{2 n^{2} + n}{\sqrt{k}}$ 对任意 $n \in N_{+}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{3}$ 是 $a_{1}$ ， $a_{11}$ 的等比中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + s i n x c o s x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求不等式 $g (x) ⩾ 0$ 的解集．

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19. 已知一次函数 $f (x)$ 满足 $f (f (x)) = x + 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $a f (x) > \sqrt{x}$ 恒成立，求a的取值范围.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = \frac{1}{s i n B}$ .

(1)、证明： $b^{2} = a c$ ；

(2)、求角B的最大值，并说明此时 $△ A B C$ 的形状.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A B = A P = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $∠ A P B = \frac{π}{4}$ ， $P D = 2 \sqrt{5}$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A P$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $C E F$ 和平面 $D E F$ 所成角的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $H (x) = f (x) + \frac{a e^{x}}{x}$ $(a > 0)$ 存在两个极小值点，求实数a的取值范围．

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