辽宁省抚顺市重点高中2022-2023学年高三上学期数学12月考试试卷

试卷更新日期：2022-12-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {3 ， 4 ， 5} ， M ∪ N = {1 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则集合 $N$ 可能为（）

A、 ${1 ， 4 ， 6}$ B、 ${3 ， 4 ， 6}$ C、 ${1 ， 2 ， 6}$ D、 ${1 ， 3}$

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2. 若复数 $z = \frac{5 a - i}{- 1 + i} + a i (a \in R)$ 的实部与虚部异号，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ B、 $(- ∞ ， - \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{3} ， + ∞)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{5})$ D、 $(- ∞ ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{5} ， + ∞)$

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3. 设命题 $p ： \exists x \in (0 ， 4) ， 2^{x} + \sqrt{x} = 18$ ，命题 $q$ ：每个三角形都有内切圆，则（）

A、 $p$ 是真命题 B、 $p$ 的否定： $\forall x \in (0 ， 4) ， 2^{x} + \sqrt{x} = 18$ C、 $q$ 是假命题 D、 $q$ 的否定：存在一个三角形没有内切圆

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n}$ ，若a₄+a₅=3，则 $a_{2} + a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、1 C、6 D、12

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5. 若 $t a n (π - θ) = 4$ ，则 $s i n 2 θ - c o s^{2} θ =$ （）

A、 $- \frac{7}{19}$ B、 $\frac{7}{19}$ C、 $- \frac{9}{17}$ D、 $\frac{9}{17}$

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6. 已知 $△ A B C$ 的垂心为M，则“M不在 $△ A B C$ 的外部"是“ $△ A B C$ 为锐角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} - a - 5 ， x \leq 0 \\ l n (x^{2} - 4 x - a) ， x > 0 \end{array}$ 恰有3个零点，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 5 ， - 4)$ B、 $(- 4 ， - 3)$ C、 $(- 5 ， - 4]$ D、 $(- 4 ， - 3]$

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8. 窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $2$ ， $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 边上任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、 $8 + 6 \sqrt{2}$ B、 $8 + 8 \sqrt{2}$ C、 $12 + 6 \sqrt{2}$ D、 $12 + 8 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若 $t a n α = 3 t a n β ， t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{2}{5} t a n β$ ，则 $t a n β$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $f (x + \frac{π}{4})$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上单调递减

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11. 若对任意的 $i ， j \in N^{*}$ 且 $i \neq j$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} = a_{i} \cdot a_{j} (i + j ⩽ n)$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 是“ $Ω$ 数列”.（）

A、至少存在一个等比数列不是“ $Ω$ 数列” B、至少存在两个常数列为“ $Ω$ 数列” C、若 ${a_{n}}$ 是“ $Ω$ 数列”，则 ${a_{n} + 1}$ 也是“ $Ω$ 数列” D、对任意的 $a \in N$ ， ${\frac{1}{n + a}}$ 总是“ $Ω$ 数列”

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12. 已知函数 $f (x) = {(3 x^{2} - 1)}^{2} - 8 x^{3} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的极大值为 $1 - a$ B、 $f (x)$ 的最小值为 $- 5 - a$ C、当 $f (x)$ 的零点个数最多时， $a$ 的取值范围为 $(\frac{20}{27} ， 1)$ D、不等式 $f (x) \leq - a$ 的解的最大值与最小值之差小于 $1.2$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 14) ， \vec{b} = (n ， - 1) ， \vec{c} = (2 ， 4) ， \vec{a} ∥ \vec{b}$ 且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $m =$ .

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14. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为 $60 c m$ ，内弧线的长为 $20 c m$ ，连接外弧与内弧的两端的线段均为 $18 c m$ ，则该扇形的中心角的弧度数为．

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15. 写出一个同时满足下列三个性质的函数： $f (x) =$ .
① $f (x)$ 为奇函数；② $f (x + 1)$ 为偶函数；③ $f (x)$ 在 $R$ 上的值域为 $[- 2 ， 2]$ .

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16. 如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径相等（半径大于1分米）.若该几何体的表面积为 $12 π$ 平方分米，其体积为 $V$ 立方分米，则 $V$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 定义矩阵运算： $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} a x + b y \\ c x + d y \end{array})$ .

(1)、计算 $(\begin{array}{l} l g 500 & l g 5 \\ 2 l o g_{4} 6 & l o g_{4} 9 \end{array}) (\begin{array}{l} 2 \\ - 2 \end{array})$ ；

(2)、若 $(\begin{array}{l} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}) (\begin{array}{l} 4 \\ b \end{array}) = (\begin{array}{l} 6 \\ m \end{array}) (a > 0 ， m > 4)$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) + 3 (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小值为1，最小正周期为 $π$ ，且 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将曲线 $y = f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $y = g (x)$ ，求曲线 $y = g (x)$ 的对称中心的坐标.

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19. 已知某观赏渔场有四个观赏亭，观赏亭 $A$ 位于观赏亭 $B$ 的正北方向且距离为300米，观赏亭 $C$ 位于观赏亭 $B$ 的东偏南 $3 0^{∘}$ 方向且距离为500米，观赏亭 $D$ 位于观赏亭 $C$ 的东北方向.假设这四个观赏亭处于同一高度.

(1)、求观赏亭 $A$ 与观赏亭 $C$ 之间的距离；

(2)、设观赏亭 $B$ 与观赏亭 $D$ 之间的距离等于观赏亭 $A$ 与观赏亭 $C$ 之间的距离，求 $s i n ∠ B D C$ .

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{4} + 7 x^{3}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、当 $a = 1$ 时，试问曲线 $y = f (x)$ 是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 3$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - n^{2}}$ 为等差数列

(2)、设数列 ${(a_{n} - n^{2}) \times 2^{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ，并求数列 ${67 n - \frac{S_{n} - 6}{2 n - 3}}$ 的最大项．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - x^{2} + (a - 2) x - 1$

(1)、若 $a = 0$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ .

(2)、若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > a l n (x + 1)$ ，求a的取值范围.

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