湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 18 < 0}$ ，集合 $B = {y | y = l n (x^{2} + 1)}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $R$ B、 $[0 ， 6)$ C、 $(- \infty ， - 3) ∪ [0 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i ， z_{2} = \sqrt{3} - i ， z = z_{1} z_{2}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $2 - 2 \sqrt{3} i$ B、 $2 + 2 \sqrt{3} i$ C、 $2 \sqrt{3} - 2 i$ D、 $2 \sqrt{3} + 2 i$

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3. 已知 $t a n x = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 x + c o s^{2} x =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， B C = C C_{1} = 3$ ，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{16}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{10}$

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5. 若正数 $x ， y$ 满足 $(x - y) (\frac{4}{x} - \frac{1}{y}) = 1$ ，则 $x + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知， $a = \frac{1}{2022}$ ， $b = l n \frac{2023}{2022}$ ， $c = l o g_{2} \frac{2023}{2022}$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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7. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰 $A$ 必须安排在甲区域.在所有可能的安排方案中随机选取一种，则此时甲区域还有其它军舰的概率为（）

A、 $\frac{18}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{6}{25}$

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8. 设 $O$ 为坐标原点， $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点， $l_{1} ， l_{2}$ 为双曲线的两条渐近线， $F_{1} A$ 垂直 $l_{1}$ 于 $A ， F_{1} A$ 的延长线交 $l_{2}$ 于 $B$ ，若 $| O A | + | O B | = 2 | A B |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

9. 在单位圆 $O$ 中， $A ､ B$ 是圆上的动点（可重合），则下列结论一定成立的有（）

A、 $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{A B}$ B、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量可能为 $- \frac{1}{2} \vec{O B}$ C、 $- 1 \leq \vec{O A} \cdot \vec{O B} \leq 1$ D、若 $\vec{A C} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ，则 $\vec{O C} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{3}{4} \vec{O B}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、要想得到 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}) (k \in Z)$ 上单调递增 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{7 π}{12} ， π]$ 上的取值范围是 $[- \sqrt{3} ， 1]$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x + 1)}{x}$ ，下列描述不正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 有且仅有1个零点 B、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(- ∞ ， 0) ， (\frac{1}{2} ， + ∞)$ ，减区间为 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、若方程 $f (x) = a$ 有两不等实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} < - 2$ D、对任意的实数 $k ､ b$ ，存在实数 $x_{0}$ ，当 $x \geq x_{0}$ 时， $f (x) > e^{k x + b}$

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12. 定义集合 $T_{n} = {a_{n} ∣ 2^{n} < a_{n} < 2^{n + 1} ， a_{n} = 3 m ， m \in N^{*} ， n \in N^{*}}$ ，设 $T_{n}$ 中所有元素的和为 $S_{n}$ ，则下列命题正确的有（）

A、存在两个不同的 $n$ 使得 $T_{n}$ 中仅有一个元素 B、 $T_{n}$ 中元素的最大值与最小值之和为 $3 \times 2^{n}$ C、 $S_{n}$ 在 $n \in N^{*}$ 上不单调 D、当 $n \in N^{*}$ 时， $1 < \frac{4^{n}}{S_{n}} < 3$ 恒成立

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三、填空题

13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
$143 ， 140 ， 144 ， 142 ， 142 ， 145 ， 148 ， 147 ， 147 ， 150 ，$
这10名同学数学成绩的 $60 %$ 分位数是.

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14. 已知抛物线 $x^{2} = m y$ 的图像过点 $(2 ， 1)$ ，则该抛物线的焦点到准线的距离为.

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - 3 x) = f (3 x)$ ，请写出一个符合条件的函数解析式 $f (x) =$ .

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16. 球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球 $O_{1}$ 的半径为 $10 ， P ， Q$ 为球 $O_{1}$ 表面上两动点， $P Q = 16 ， M$ 为线段 $P Q$ 的中点.半径为2的球 $O_{2}$ 在球 $O_{1}$ 的内壁滚动，点 $A ， B ， C$ 在球 $O_{2}$ 表面上，点 $O_{2}$ 在截面 $A B C$ 上的投影 $H$ 恰为 $A C$ 的中点，若 $O_{2} H = 1$ ，则三棱锥 $M - A B C$ 体积的最大值是.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足： $2 a_{n} + b_{n} = 7 \times 2^{n} ， 3 a_{n} - 2 b_{n} = 7 n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{10}$ .（用具体数值表示）

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18. 如图①， $∠ A B C = ∠ B C D = 9 0^{∘} ， A B = B C = 2 ， C D = 4$ ，将图①中左右两个三角形沿着 $B C$ 翻折成为图②所示的三棱锥，棱 $A D$ 上的点 $E$ 满足 $\vec{A E} = λ \vec{A D} (0 < λ < 1)$ .

(1)、过点 $E$ 作截面 $α / /$ 平面 $B C D$ ，写出作法并证明；

(2)、当二面角 $A - B C - D$ 的大小为 $12 0^{∘}$ 时，求直线 $A D$ 与（1）中平面 $α$ 所成角的正切值.

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19. 为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展.奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图（示意图）所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷5个大小形状质量相同､编号不同的沙包.规定：每次沙包投进1号､2号､3号箱分别可得3分､4分､5分，没有投中计0分.每名选手将累计得分作为最终成绩.

(1)、已知某位选手获得了17分，求该选手5次投掷的沙包进入不同箱子的方法数；

(2)、赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手 $A$ 每次投中1号､2号､3号箱的概率依次为 $0.7 ， 0.5 ， 0.3$ .已知选手 $A$ 每次赛前已经决定5次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标.假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现末中目标箱而误中其它箱的情况.
（i）若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手 $A$ 选择几号箱？
（ii）假设选手 $B$ 得了23分，请你帮 $A$ 设计一种可能赢 $B$ 的投掷方案，并计算该方案 $A$ 获胜的概率.

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 满足 $c o s^{2} B + c o s^{2} C - c o s^{2} A = 1 - s i n B s i n C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{3}$ ，设 $A H$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的高，求 $B H$ 的最大值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦距为 $2 ， F_{1} ， F_{2}$ 分别为左右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $△ F_{2} M N$ 的周长为8.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知结论：若点 $(x_{0} ， y_{0})$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点，则椭圆在该点的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .点 $T$ 为直线 $x = 8$ 上的动点，过点 $T$ 作椭圆 $C$ 的两条不同切线，切点分别为 $A ， B$ ，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ A F_{1} Q ， △ B F_{2} Q$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ .
（i）证明： $Q$ 为定点；
（ii）设 $μ = \frac{S_{1}}{S_{2}}$ ，求 $μ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x - 2 s i n x - l n | x |$ .（参考值： $c o s 2 \approx - 0.416$ ）

(1)、证明： $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上有唯一的极小值点；

(2)、试研究 $f (x)$ 零点的个数.

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