河南省南阳市六校2022-2023学年高一上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）

A、 ${2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $a$ ， $b$ 为实数，则 $a > b$ 是 $l o g_{2} a > l o g_{2} b$ 的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5∶4∶1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（）

A、25 B、35 C、75 D、100

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4. 若函数 $f (x) = l o g_{a} x + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象过定点 $A (m ， n)$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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5. 如图是容量为500的样本的频率分布直方图，那么样本数据落在 $[10 ， 14)$ 内的频率，频数分别为（）

A、 $0.32 ； 120$ B、 $0.32 ； 160$ C、 $0.09 ； 45$ D、 $0.36 ； 180$

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6. 函数 $f (x) = l n x + 3^{x} - 4$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(3 ， 4)$

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7. 设 $a = 3^{\frac{1}{3}} ， b = 2^{\frac{1}{2}} ， c = l o g_{3} 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8. 若两个正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = x y$ ，且存在这样的 $x ， y$ 使不等式 $2 x + y < m^{2} + 8 m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 9)$ B、 $(- 9 ， 1)$ C、 $(- ∞ ， - 9) \cup (1 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (9 ， + \infty)$

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9. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $4 x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} \leq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 4)$

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10. 下列命题是真命题的有（）

A、有甲､乙､丙三种个体按 $4 ： 3 ： 1$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容量为32 B、数据 $1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 4 ， 5$ 的平均数､众数､中位数相同 C、若甲组数据的方差为5，乙组数据为 $5 ， 6 ， 9 ， 10 ， 5$ ，则这两组数据中较稳定的是甲 D、一组数 $7 ， 6 ， 5 ， 4 ， 3 ， 3 ， 3 ， 2 ， 2 ， 1$ 的 $70 %$ 分位数为4

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11. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (- x^{2} + 2 x + 3)$ ，下列结论正确的是（）

A、单调增区间为 $(- \infty ， 1]$ ，值域为 $(0 ， 2]$ B、单调减区间是 $[1 ， + \infty)$ ，值域为 $(- \infty ， 2]$ C、单调增区间为 $(- 1 ， 1]$ ，值域为 $(- \infty ， 2]$ D、单调减区间是 $[1 ， 3)$ ，值域为 $(0 ， 2]$

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[- 4 ， 4]$ 上有最大值 $f (4)$ D、 $f (2 x + 1) + f (2 - x^{2}) < 0$ 的解集为 $(- 1 ， 3)$

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二、填空题

13. 已知指数函数 $f (x) = (2 a - 1)^{x}$ ，若 $x > 0$ 时，总有 $f (x) > 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 总体是由编号为 $01 ， 02 ， ⋯ ， 29 ， 30$ 的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为.
$\begin{array}{l} 7816 & 1572 & 0802 & 6315 & 0216 & 4319 & 9714 & 0198 \\ 3204 & 9234 & 4936 & 8200 & 3623 & 4869 & 6938 & 7181 \end{array}$

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15. 已知函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的图像与函数 $y = l o g_{2} x$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称，则 $g (- 1) =$ .

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16. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x} ， x \leq 0 ， \\ l o g_{\frac{1}{3}} x ， x > 0 ， \end{array}$ 若 $g (x) = f (x) - x + t$ 有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $\frac{1}{2} l g 25 + l g 2 - l g \frac{1}{100} - l o g_{2} 9 \times l o g_{3} 2$ ；

(2)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(\frac{4}{9})}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + (1.5)^{- 2}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{l g (x + 1)}{\sqrt{- x + 2}}$ 的定义域为 $A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、设集合 $B = {x | {(\frac{1}{2})}^{3 x - 5} < {(\frac{1}{2})}^{2 x - a}}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 - x)$ ， $g (x) = l o g_{a} (x + 4)$ ，其中 $0 < a < 1$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < g (x)$ ；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的最小值为 $- 2$ ，求实数 $a$ 的值.

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20. 随着新冠肺炎疫情的稳定，各地的经济均呈现缓慢的恢复趋势，为了更进一步做好疫情的防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人.
口罩使用数量
$[2 ， 4)$
$[4 ， 6)$
$[6 ， 8)$
$[8 ， 10)$
$[10 ， 12]$
频率
0.2
m
0.3
n
0.1

(1)、求m，n的值；

(2)、根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；

(3)、计算A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差.

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21. 6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚焦联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗埔中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.

(1)、求直方图中 $a$ 的值及众数、中位数；

(2)、若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.
①求合格树苗的平均高度(结果精确到个位)；
②从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{2}{x} + a) ， (x > 0)$ .

(1)、若函数 $g (x) = f (x) + 2 l o g_{2} x$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a > 0$ ，若对于任意实数 $t \in [\frac{1}{3} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不大于1，求实数 $a$ 的取值范围.

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口罩使用数量	$[2 ， 4)$	$[4 ， 6)$	$[6 ， 8)$	$[8 ， 10)$	$[10 ， 12]$
频率	0.2	m	0.3	n	0.1