河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二上学期数学12月阶段检测试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则该双曲线的离心率为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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2. 若直线l： $x - 2 y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $t a n (π - α) =$ （）

A、2 B、－2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点，过点 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，则 $△ M N F_{2}$ 的周长为（）

A、8 B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、与 $k$ 有关

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1 ， 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的投影向量 $\vec{c} =$ （）

A、 $(6 \sqrt{14} ， 3 \sqrt{14} ， 6 \sqrt{14})$ B、 $(2 \sqrt{14} ， \sqrt{14} ， 2 \sqrt{14})$ C、 $(2 ， 1 ， 2)$ D、 $(6 ， 3 ， 6)$

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5. 若圆 $M$ ： $(x - k)^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $N$ ： $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 相交，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， 4)$ D、 $(- 2 ， 4)$

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6. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径 $A B = 6$ ，深度 $M O = 2$ ，信号处理中心 $F$ 位于焦点处，以顶点 $O$ 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系 $x O y$ ，若 $P$ 是该拋物线上一点，点 $Q (\frac{15}{8} ， 2)$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图， $△ S A B$ 、 $△ S C D$ 是直角圆锥 $S O$ 的两个轴截面，且 $c o s ∠ B O C = \frac{1}{3}$ ，则异面直线 $S A$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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8. 双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{39} = 1$ 上的点 $P$ 到上焦点的距离为12，则 $P$ 到下焦点的距离为（）

A、22 B、2 C、2或22 D、24

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9. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $3 \vec{a} - 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $4 \vec{a} + 3 \vec{b} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b} - 2 \vec{c}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ ， $2 \vec{a} + \vec{b}$

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10. 如图，已知 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 6)$ ，从点 $P (2 ， 0)$ 射出的光线经直线 $A B$ 反射后再射到直线 $O B$ 上，最后经直线 $O B$ 反射后又回到点 $P$ ，则光线所经过的路程长为（）

A、 $\frac{12 \sqrt{65}}{13}$ B、 $\frac{8 \sqrt{130}}{13}$ C、 $\frac{4 \sqrt{481}}{13}$ D、 $\frac{16 \sqrt{30}}{13}$

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11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马 $P — A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P D$ ， $P B$ 的中点，则（）

A、 $E F ⊥$ 平面 $P A D$ B、 $A B ∥$ 平面 $E F C$ C、点 $F$ 到直线 $C D$ 的距离为 $\sqrt{6}$ D、点 $A$ 到平面 $E F C$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{11}}{11}$

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12. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左支交于点 $A$ ，与双曲线 $C$ 的其中一条渐近线在第一象限交于点 $B$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O B |$ （ $O$ 是坐标原点），现有下列四个结论：
① $| B F_{1} | = \sqrt{4 c^{2} - {| B F_{2} |}^{2}}$ ；②若 $\vec{A B} = 2 \vec{F_{1} A}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$ ；③ $| B F_{1} | - | B F_{2} | > 2 a$ ；④ $c - a < | A F_{1} | < \sqrt{2} c - a$ .
其中所有正确结论的序号为（）

A、①② B、②③ C、①③④ D、①②④

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $m x + 3 y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (m - 4) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m =$ .

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14. 空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，且 $\vec{b} = (2 ， 1 ， - 3)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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15. 笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为长方体，且 $A B = B C = 1 ， A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，则 $A P + P D$ 的最小值为.

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16. 已知直线 $l$ ： $3 x + y + 2 = 0$ 与 $x$ ， $y$ 轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ，且直线 $l_{1}$ ： $m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点 $P$ ，则 $△ P A B$ 面积的最大值是.

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三、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C — A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E ， F ， G$ ，分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，分别记 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{A A_{1}}$ 为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{E G}$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ，求 $| \vec{E F} + 2 \vec{E G} |$ .

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18. 已知动圆 $P$ 与圆 $M$ ： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N$ ： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ 均外切，记圆心 $P$ 的运动轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程.

(2)、若点 $Q$ 在 $C$ 上，且 $△ M N Q$ 的面积为 $6 \sqrt{6}$ ，求直线 $N Q$ 的方程.

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19. 已知半径小于10的圆 $C$ 与两坐标轴相切，且 $P (2 + \sqrt{2} ， 2 + \sqrt{2})$ 是圆 $C$ 上一点，过 $P$ 的直线与圆 $C$ 交于另外一点 $Q$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $| P Q | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $P Q$ 的方程.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (x_{0} ， p)$ 在抛物线 $C$ 上， $Q (- 1 ， 0)$ ， $| F P | = | F Q | + 1$ .

(1)、求 $C$ 的方程.

(2)、过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线与 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $l$ 的斜率为1，求四边形 $A M B N$ 的面积.

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21. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B E D F$ ，将 $△ B C F$ 沿 $B F$ 折起到 $△ B C_{1} F$ 的位置，使得二面角 $E - B F - C_{1}$ 的大小为 $120 °$ ，连接 $A_{1} C_{1}$ ， $A_{1} F$ ， $C_{1} E$ ，得到如图2所示的多面体 $A_{1} C_{1} B E D F$ .

(1)、证明： $D E ⊥ A_{1} F$ .

(2)、求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $H (1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ 是 $C$ 上一点.

(1)、求 $C$ 的方程.

(2)、设 $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点，过点 $D (1 ， 0)$ 作斜率不为0的直线 $l$ ， $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与直线 $B Q$ 交于点 $M$ ，记 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $B Q$ 的斜率为 $k_{2}$ .证明：① $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；②点 $M$ 在定直线上.

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