河北省邢台市2022-2023学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $x - y = 0$ 绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线斜率为（）

A、-1 B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、1

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2. 已知空间三点 $A (3 ， 2 ， 0)$ ， $B (3 ， 2 ， 2)$ ， $C (3 ， 0 ， 1)$ ，则 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知直线 $l$ 经过点 $(- 1 ， 4)$ ，且它的一个方向向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 4)$ ，则（）

A、直线 $l$ 的点斜式方程为 $y - 4 = - \frac{1}{2} (x + 1)$ B、直线 $l$ 的斜截式方程为 $x = - \frac{1}{2} y + 1$ C、直线 $l$ 的截距式方程为 $x + \frac{y}{2} = 1$ D、直线 $l$ 的一般式方程为 $x + 2 y - 7 = 0$

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4. 已知 $A (1 ， - 2 ， 1)$ ， $B (1 ， - 5 ， 4)$ ， $C (2 ， 3 ， 4)$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0 ， - 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 1 ， - 1)$ C、 $(0 ， \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ D、 $(0 ， - \sqrt{2} ， \sqrt{2})$

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5. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别在棱 $B B_{1}$ 和 $D D_{1}$ 上，且 $D F = \frac{1}{2} D D_{1}$ .记 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，若 $x + y + z = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{B E}{B B_{1}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 若直线l的斜率 $k \in [- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ ，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{3}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{6}] ∪ [\frac{3 π}{4} ， π)$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{3 π}{4}]$

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 2$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，以 $C$ 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 $C - x y z$ ，若 $\vec{A_{1} B} ⊥ \vec{C B_{1}}$ ，则异面直线 $C M$ 与 $A_{1} B$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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8. 已知直线 $l$ 的斜率小于0，且 $l$ 经过点 $P (6 ， 8)$ ，并与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $C (4 ， 0)$ ，当 $△ A B C$ 的面积取得最小值时，直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{4}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 6$ B、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 6$ C、 $(\vec{a} + 5 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} / / (\vec{b} - \vec{c})$

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10. 已知直线 $l$ ： $a x + (2 a - 3) y - 3 = 0$ 与 $n$ ： $(a + 2) x + a y - 6 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $l / / n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、若 $l / / n$ ，则 $l$ ， $n$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、原点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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11. 已知直线 $l$ 经过两直线 $3 x + 4 y + 1 = 0$ 和 $2 x + y + 4 = 0$ 的交点，且 $M (- 1 ， 3)$ 到 $l$ 的距离与 $N (2 ， - 4)$ 到 $l$ 的距离之比为 $1 ： 3$ ，则直线 $l$ 的方程可能为（）

A、 $9 x - y + 29 = 0$ B、 $9 x + y + 25 = 0$ C、 $3 x + 11 y - 13 = 0$ D、 $3 x - 11 y + 31 = 0$

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B_{1} B$ 的中点，则下列选项中不正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A E F$ B、 $D_{1} G ∥$ 平面 $A E F$ C、平面 $A E F$ 截该正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$ D、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积为 $\frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $A (1 ， 2 ， - 2)$ ， $B (3 ， 2 ， 1)$ 在直线l上，写出直线l的一个方向向量： $\vec{n} =$ ．

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14. 已知空间有三点 $A (1 ， 0 ， - 1)$ ， $B (0 ， 2 ， 1)$ ， $C (3 ， 6 ， 1)$ ，若在直线 $B C$ 上存在一点 $M$ ，使得 $A M ⊥ B C$ ，则点 $M$ 的坐标为.

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15. 已知 $E (2 ， 0)$ ， $F (0 ， - 2)$ ，点 $P$ 在直线 $3 x - y + 1 = 0$ 上移动，则 ${| P E |}^{2} + {| P F |}^{2}$ 的最小值为.

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16. 一条沿直线传播的光线经过点 $P (- 2 ， 6)$ 和 $Q (- 1 ， 4)$ ，然后被直线 $y = x - 1$ 反射，则入射点的坐标为，反射光线所在直线在 $y$ 轴上的截距为.

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四、解答题

17. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 6 ， A B = 4$ ，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = \frac{π}{3}$ ，设 $\vec{C D} = \vec{a} ， \vec{C B} = \vec{b} ， \vec{C C_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示 $\vec{B_{1} D}$ ；

(2)、已知 $O$ 是 $B_{1} D$ 的中点，求 $D O$ 的长.

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18. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2 ， - 3)$ ， $A B$ 边上的中线所在直线的方程为 $2 x - y - 4 = 0$ ， $A C$ 边上的高所在直线的方程为 $x - y + 3 = 0$ .

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程.

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19. 如图，已知圆锥的顶点为 $P$ ，点 $C$ 是圆 $O$ 上一点， $∠ B O C = 4 5^{∘} ， A B = 2 O P = 4$ ，点 $D$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上的一点，平面 $P C D ∩$ 平面 $P A B = l$ ，且 $l ∥ A B$ .

(1)、证明： $O C ⊥ O D$ .

(2)、求点 $O$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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20. 已知直线 $l$ ： $(2 a + 3) x - (a - 1) y + 3 a + 7 = 0$ ， $a \in R$ .

(1)、证明直线 $l$ 过定点 $A$ ，并求出点 $A$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，若直线 $l^{'}$ 过点 $A$ ，且在 $y$ 轴上的截距是在 $x$ 轴上的截距的 $\frac{1}{2}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程；

(3)、若直线 $l$ 不经过第四象限，求 $a$ 的取值范围.

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21. 如图①，在平面多边形ABCDE中， $A B = A D = A E = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $△ A D E$ 为等腰直角三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且 $A D ∥ B C$ ，沿AD将 $△ A D E$ 折起，使得 $B E = \sqrt{2}$ ， M为BC的中点，连接AM，BD，如图②.

(1)、证明： $B D ⊥ E M$ ；

(2)、求直线DE与平面BEM所成角的正弦值.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ D C B = 6 0^{∘} ， A B ⊥ P B$ .

(1)、证明： $△ P D C$ 为等腰三角形.

(2)、若平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D ， A B = 2$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值的取值范围.

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