广东省清远市五校2022-2023学年高一上学期数学12月期中联考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in R$ ， ”的否定 $| x | + | x - 1 | < 2$ 是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $| x | + | x - 1 | > 2$ B、 $\exists x \in R$ ， $| x | + | x - 1 | \geq 2$ C、 $\forall x \in R$ ， $| x | + | x - 1 | > 2$ D、 $\forall x \in R$ ， $| x | + | x - 1 | \geq 2$

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2. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4 ， 2)$ ，则 $f (16) =$ （）

A、8 B、 $\pm 4$ C、4 D、 $- 4$

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3. 集合A={x|x²=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则实数a的值为（）

A、1 B、-1 C、±1 D、0或±1

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4. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，则使 $f (x) = 2$ 的x的集合是（）

A、 ${4}$ B、 ${1 ， 4}$ C、 ${\frac{1}{4} ， 4}$ D、 ${1 ， \frac{1}{4} ， 4}$

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6. 已知a=log₂0.2，b= $2^{0.2}$ ，c= ${0.2}^{0.3}$ ，则（）

A、a<b<c B、a<c<b C、c<a<b D、b<c<a

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 2) x + \frac{5}{2} ， x \leq 2 \\ \frac{a}{x} ， x > 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1]$

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8. 设 $x > 0$ ， $y > 0$ ，不等式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{m}{x + y} \geq 0$ 恒成立，则实数m的最小值是（）

A、 $- 2$ B、2 C、1 D、 $- 4$

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二、多选题

9. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 9 = 0}$ ，则下列式子表示正确的有（）

A、 $3 \in A$ B、 ${- 3} \in A$ C、 $\emptyset \subseteq A$ D、 ${3 ， - 3} \subseteq A$

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10. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）

A、若ac²>bc² ，则a>b B、若a>b，c>d，则a+c>b+d C、若a>b，c>d，则ac>bd D、若a>b，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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11. 下列函数中是偶函数，且在 $(1 ， + \infty)$ 为增函数的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ C、 $f (x) = 2 x^{2} - | x | - 1$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x < 0 \\ x + 1 ， x > 0 \end{array}$

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12. 已知定义在 $R$ 上函数 $h (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ， $h (- x) = h (x)$ ；② $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{h (x_{2}) - h (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ；③ $h (- 3) = 0$ .则下列选项成立的是（）

A、 $h (5) > h (- 6)$ B、若 $\frac{h (x - 1)}{x} > 0$ ，则 $x \in (- \infty ， - 2) \cup (0 ， 1) \cup (4 ， + \infty)$ C、若 $h (2 a - 1) < h (2)$ ，则 $a \in (- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $h (x) \geq M$

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三、填空题

13. 函数 $y = \frac{1}{x - 1} + \sqrt{x + 1}$ 的定义域为.（用区间表示）

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14. 函数 $f (x) = l o g_{a} (x - 2) + 2$ 的图象必过定点.

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15. 设集合A= $[0 ， \frac{1}{2})$ ，B= $[\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数f（x）= ${\begin{matrix} x + \frac{1}{2} ， x \in A \\ 2 (1 - x) ， x \in B \end{matrix}$ 若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，则x₀的取值范围是

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16. 如果奇函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 5]$ 上是减函数，且最小值是-5，那么 $f (x)$ 在 $[- 5 ， - 2]$ 上有最（填“大”或“小”）值为.

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四、解答题

17. 设全集 $U = {x \in N^{*} | x \leq 10}$ ， $A = {1 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {3 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ .
求：

(1)、 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ .

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18. 化简求值（需要写出计算过程）.

(1)、化简 $\sqrt{(π - 5)^{2}} - \sqrt[3]{(2 - π)^{3}}$ ；

(2)、计算： $0.06 4^{- \frac{1}{3}} + {(- \frac{5}{2})}^{0} - {(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} + 0 . 1^{- 2}$ ；

(3)、若 $10 0^{a} = 4$ ， $1 0^{b} = 25$ ，求 $2 a + b$ 的值.

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19. 在① $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分不必要条件；② $A \cup B = B$ ；③ $A \cap B = \emptyset$ ，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 $A = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若选__________，求实数m的取值范围.

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20. 受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年 $(n \in N^{*})$ 的材料费、维修费、人工工资等共为 $(\frac{5}{2} n^{2} + 5 n)$ 万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为 $f (n)$ 万元．

(1)、写出 $f (n)$ 关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．
请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{2 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上是增函数；

(3)、若实数 $t$ 满足不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ ，求 $t$ 的取值范围

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + a + 3 ， g (x) = m x + 5 - 2 m$

(1)、当时，求方程 $f (x) - g (x) = 0$ 的解；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有实数根，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 0$ 时，若对任意的 $x_{1} \in [1 ， 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 4]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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