广东省清远市四校联盟2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则图中阴影部分表示的集合（）

A、 ${1 ， 3 ， 5}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ C、 ${7 ， 9}$ D、 ${2 ， 4}$

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2. 已知集合 $A = {0 ， - 1}$ ，则-1与集合A的关系为（）

A、-1⊆A B、-1⫋ A C、 $- 1 \in A$ D、 $- 1 \notin A$

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3. 命题 $p$ ： $\forall x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ 的否定形式 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} \leq x^{2}$ B、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ C、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} < x^{2}$ D、 $\exists x \in N$ ， $x^{3} \leq x^{2}$

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4. 如图，在同一平面直角坐标系中表示直线 $y = a x$ 与 $y = x + a$ ，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知幂函数 $f (x)$ 的图像过点 $(2 ， 8)$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 B、是偶函数，在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数 C、是奇函数，在 $(- ∞ ， 0)$ 上是增函数 D、是偶函数，在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数

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6. 若函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 满足 $f (1) = 0$ ， $f (- 1) = 8$ ，则下列判断错误的是（）

A、 $b + c = - 1$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 4$ D、f（x）的最小值为－1

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7. 设 $f (x) = a x^{3} + b x - 5$ ，且 $f (- 7) = 7$ ，则 $f (7) =$ （）

A、 $- 7$ B、7 C、17 D、 $- 17$

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8. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ B、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $a - \frac{b}{a} > b - \frac{a}{b}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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二、多选题

9. 下列四个结论中，正确的有（）
① $\emptyset \subseteq \emptyset$ ；② $0 \in \emptyset$ ；③ $\emptyset$ ⫋ ${0}$ ；④ ${0} = \emptyset$ .

A、① B、② C、③ D、④

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10. 下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x$ 与函数 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 是同一函数 B、函数 $f (x) = x^{- 2}$ 在定义域上是偶函数 C、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $f (x)$ 在定义域内单调递减 D、若 $f (x) = x^{2} ， x \in {1 ， 2}$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为 ${1 ， 4}$

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11. 下列结论中正确的有（）

A、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + m = 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $(4 ， + \infty)$ B、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” C、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 D、当 $x > 0$ 时， $x + \frac{2}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = a x - 1 ， (a > 0)$ ， $g (x) = x^{2} - b x - 2$ 下列说法正确的是（）

A、当 $b = 0$ 时， $g (x)$ 的最小值为 $- 2$ B、当 $b = 2$ 时， $\forall x_{1} \in [1 ， 2]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，有 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则 $a > - 2$ C、当 $b = 2$ 时， $\forall x_{1} \in [1 ， 2] ， \exists x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，有 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，则 $a < - 1$ D、当 $x > 0$ 时， $(a x - 1) (x^{2} - b x - 2) \geq 0$ 恒成立，则 $3 a + b \geq 2$

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三、填空题

13. 设集合 $A = {1 ， a}$ ， $B = {1 ， a^{2}}$ ．若 $A = B$ ，则实数a的值为．

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14. 已知命题p： $x^{2} = 9$ ，命题q： $x^{3} = - 27$ ，那么p是q的条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

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15. 已知不等式 $a x^{2} - b x - 1 ⩾ 0$ 的解集是 ${x ∣ \frac{1}{3} ⩽ x ⩽ \frac{1}{2}}$ ，则 $a + b =$ .

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16. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x^{2} - 5 x + 2}$ 的单调减区间为．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - x - 12 \leq 0} ， B = {x | a - 1 \leq x \leq 3 a - 2}$ $.$

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ 与 $A \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称， $f (0) = 3$ ，且二次函数 $f (x)$ 的图像经过点（1，2）.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 3]$ 上的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = x - \frac{2}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用定义法证明.

(2)、若 $f (x) \geq a$ 对 $\forall x \in [2 ， 6]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ .

(1)、若菜园面积为 $72 m^{2}$ ，则 $x ， y$ 为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)、若使用的篱笆总长度为 $30 m$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq - 2 \\ x^{2} + 2 x ， - 2 < x < 2 \\ 2 x - 1 ， x \geq 2 \end{array} .$

(1)、若 $f (a) = 3$ ，求实数a的值；

(2)、若 $f (m) > m$ ，求实数m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (k + 1) x + 3$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上具有单调性，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的最小值.

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