广东省清远市四校联盟2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知直线经过点 $A (3 ， - 1)$ 和点 $B (0 ， 2)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（　）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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2. 已知非零空间向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{B C} = - 3 \vec{a} + 4 \vec{b} ， \vec{C D} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则一定共线的三点是（）

A、 $A ， B ， D$ B、 $A ， B ， C$ C、 $B ， C ， D$ D、 $A ， C ， D$

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3. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则与 $\vec{D M}$ 相等的向量是（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4. 圆心为 $(3 ， 1)$ 且和 $y$ 轴相切的圆的方程是（　）

A、 $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ B、 $(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ C、 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 10$ D、 $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 3$

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5. 已知直线 $l_{l} ， l_{2}$ 的方向向量分别为 $\vec{a} = (3 ， 4 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 1 ， m)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m$ 等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 在下列条件中，使 $M$ 与 $A$ ， $B$ ， $C$ 一定共面的是（）

A、 $\vec{O M} = \vec{O A} - 2 \vec{O B} - \vec{O C}$ B、 $\vec{M A} + 3 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ C、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ D、 $\vec{O M} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

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7. 已知圆C₁： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ 和圆C₂： $4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 16 y + 31 = 0$ ，则这两个圆的公切线的条数为（　　）

A、1或3 B、4 C、0 D、2

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8. 方程 $| x | - 1 = \sqrt{1 - (y - 1)^{2}}$ 表示的曲线是（　　）

A、—个圆 B、两个圆 C、一个半圆 D、两个半圆

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9. 在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 $A A^{'}$ 的长为b，且 $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D = 12 0^{°}$ .则（）

A、 $A^{'} C$ 的长为 $\sqrt{2 a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ B、直线 $B^{'} D$ 与AC所成角的余弦值 $\frac{a \sqrt{4 a^{2} + 2 b^{2}}}{4 a^{2} + 2 b^{2}}$ C、 $B D^{'}$ 的长为 $\sqrt{2 a^{2} + b^{2}}$ D、直线 $B^{'} D$ 与BC所成角的余弦值 $\frac{a - \frac{1}{2} b}{\sqrt{2 a^{2} + b^{2}}}$

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二、多选题

10. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 2 = 0$ ，则（）

A、倾斜角为 $60 °$ B、恒过点 $(0 ， 2)$ C、直线 $l$ 的方向向量为 $(1 ， - \sqrt{3})$ D、在x轴上的截距为2

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11. (多选)在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD₁ ， D₁C₁的中点，则直线OM（）

A、和AC垂直 B、和AA₁垂直 C、和MN垂直 D、与AC，MN都不垂直

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12. 已知直线 $l ： k x - y + 3 k + 1 = 0$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16$ ，则（）

A、直线l恒过定点 $(- 3 ， 1)$ B、圆心C到直线l的最大距离是 $\sqrt{10}$ . C、直线l与圆O相交 D、若 $k = - 1$ ，直线l被圆O截得的弦长为4

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三、填空题

13. 已知空间中非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 6 0^{^{∘}}$ ，则 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} | =$

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14. 半径为 $\sqrt{10}$ ，且与直线 $x + 3 y - 8 = 0$ 相切于 $(2 ， 2)$ 的圆的标准方程为

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15. 若x，y满足x²＋y²－2x＋4y－20＝0，则x²＋y²的最小值是

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16. 已知圆 $x^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 上一动点 $A$ 和定点 $B (6 ， 2)$ ，点 $P$ 为 $x$ 轴上一动点，则 $| P A | + | P B |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 1 ， 2) ， B (1 ， 4) ， C (0 ， - 2)$ ，求边 $A B$ 所在直线的方程，以及这条边上的垂直平分线所在直线的方程.

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18. 已知空间三点 $a = \sqrt{2}$ ， $B (- 2 ， 1 ， 6)$ ， $C (1 ， - 1 ， 5)$ .

(1)、求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；

(2)、设 $D (x ， 1 ， - 1)$ ，若A，B，C，D四点共面，求 $x$ 的值

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19. 已知曲线C： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y + m = 0$ .

(1)、当m为何值时，曲线C表示圆？

(2)、若直线l： $y = x - m$ 与圆C相切，求m的值

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $A B ⊥$ 平面PAD，E是AD的中点， $△ P A D$ 为等腰直角三角形， $D P ⊥ A P$ ， $P A = \sqrt{2} A B$ = $\sqrt{2}$

(1)、求证： $P E ⊥ B D$ ；

(2)、求点A到平面PBE的距离．

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21. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1交于M ， N两点．

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O N}$ ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

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22. 如图，在棱长为a的正方体 $O A B C - O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $E ， F$ 分别是棱 $A B ， B C$ 上的动点，且 $B E = C F$ .

(1)、求证： $A^{'} F ⊥ C^{'} E$ ；

(2)、当三棱锥 $B^{'} - B E F$ 的体积取得最大值时，求平面 $E F B^{'}$ 与平面 $B F B^{'}$ 的夹角的正切值.

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