甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高三上学期理数12月月考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | | x - 1 | \leq 1}$ ， $N = {x | \frac{\sqrt{2}}{2} < 2^{x} < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 0)$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[- 1 ， \frac{1}{2})$

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2. 已知 $z = 2 - i$ ， $\bar{z}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，则复数 $\frac{z}{\bar{z} + i} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} i$ B、 $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i$ D、 $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} i$

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3. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0} \leq - 1$ 或 $x_{0} = 2$ ，则（）

A、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x > - 1$ 或 $x \neq 2$ B、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x > - 1$ 且 $x \neq 2$ C、 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $x > - 1$ 且 $x = 2$ D、 $\neg p$ ： $\exists x_{0} \notin R$ ， $x_{0} \leq - 1$ 或 $x_{0} = 2$

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4. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ，若点 $M$ 、 $N$ 分别是 $C D$ ， $B C$ 的中点，则 $\vec{N D} \cdot \vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{7}{4}$

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5. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{7} a_{5} = 12 a_{6}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 b_{9} = a_{6}$ ，则 $S_{17} =$ （）

A、96 B、102 C、118 D、126

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6. 按照如图所示的程序框图，其运行的结果为（）

A、 $S = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ⋯ + 9 7^{3}$ B、 $S = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ⋯ + 10 1^{3}$ C、 $S = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ⋯ + 9 8^{3}$ D、 $S = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + ⋯ + 9 9^{3}$

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7. 在崂山的山脚下临海断崖南侧，距岸百米处有一座石柱，形如老人坐在碧波之中，人称“石老人”.老人以手托腮，注目凝神，每天晨迎旭日，暮送晚霞，伴着潮起潮落，历尽沧桑，不知度过了多少岁月.这个由大自然鬼斧神工雕凿的艺术杰作，已成为石老人国家旅游度假区的重要标志，若该景区在开放时间内，每半个小时会有一趟观光车从景区入口发车，有一名学生周日上午某时刻到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A B = B C = 2 P A = 4$ ，则鳖臑 $P - A B C$ 外接球的表面积是（）

A、36π B、72π C、144π D、288π

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9. 安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（）

A、150 B、120 C、160 D、180

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (2 ， 0)$ ，过 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，准线与 $x$ 轴的交点为 $A$ ，当 $M A ⊥ N A$ 时，直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x = 2$ C、 $x - 2 y - 2 = 0$ D、 $x = \frac{3}{2}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，则（）

A、 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、异面直线 $A B_{1}$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为30° C、平面 $A B_{1} D_{1} ∥$ 平面 $B C_{1} Q$ D、平面 $B_{1} C D ⊥$ 平面 $B_{1} D P$

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12. 已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C$ 的渐近线方程是 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，且经过点 $M (3 \sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，过 $C$ 的右焦点 $F$ 的直线与 $C$ 两条渐近线分别交于点 $A$ ， $B$ ，以 $O A$ 为直径的圆 $M$ 过点 $B$ ，则下列说法不正确的是（）

A、双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、圆 $M$ 的面积等于 $9 π$ D、 $△ O A F$ 与 $△ O A B$ 的面积之比为 $2 ： 5$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 4 x^{3} - a x^{2} - 2 b x + 2$ 在 $x = 1$ 处有极值，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为.

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14. 已知锐角 $θ$ 满足 $2 c o s 2 θ = 1 + s i n 2 θ$ ，则 $s i n 2 θ - c o s^{2} θ =$ .

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15. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = - l n \frac{x}{3}$ ，则满足不等式 $(x - 1) f (x + 2) > 0$ 的 $x$ 的取值范围是.

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16. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是.
①若把函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $h (x)$ 的图像，则函数 $h (x)$ 是奇函数；
②函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{4 π}{3} ， 0)$ 对称；
③函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减；
④该图像先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把图像上所有的点横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得 $y = 2 s i n x$ 的图像；
⑤ $\forall x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ ，若 $f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{4}) + a \geq f (0)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $[\sqrt{3} + 2 ， + \infty)$ .

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} c = \sqrt{3} a c o s B + a s i n B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $A B = 2$ ，求 $A D$ 的长.

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18. 文旅部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收入 $y$ （单位：万），得到以下数据：
月份 $x$
3
4
5
6
7
旅游收入 $y$
10
12
11
12
20
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，参考数据： $\sqrt{10} \approx 3.162$ .线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
临界值表：
$α$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

(1)、根据表中所给数据，用相关系数 $r$ 加以判断，是否可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系？若可以，求出 $y$ 关于 $x$ 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；

(2)、为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”.

喜欢
不喜欢
总计
男
100
女
60
总计
110

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $x + y = 1$ 交椭圆 $C$ 的弦长为 $\frac{24}{7}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过定点 $M (2 ， - 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，椭圆 $C$ 的右顶点为 $P$ ，设直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} + k_{2}$ 恒为定值.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A C = \sqrt{6}$ ， $A A_{1} = A B = 2$ .

(1)、证明：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B_{1} C - A$ 的大小.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{a x} - \frac{1}{a}$ ， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ 时，试判断函数 $g (x) = (ln x - 1) e^{x} + x - m$ 的零点个数.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + t \\ y = - 2 + \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ = 4 c o s θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P$ 的直角坐标为 $(2 ， 0)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线交曲线 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点（ $D$ 在 $x$ 轴上方），求 $\frac{1}{| P D |} - \frac{1}{| P E |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、若存在 $x \in [1 ， 2]$ ，使得不等式 $f (x) > 2 x$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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月份 $x$	3	4	5	6	7
旅游收入 $y$	10	12	11	12	20

$α$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	喜欢	不喜欢	总计
男			100
女		60
总计	110