甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = \frac{2}{a_{n - 1} + 1} (n \geq 2)$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{22}{21}$

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2. 已知 $f' (1) = 2 ， lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 +3 Δ x) - f (1)}{Δ x}$ 等于（）

A、1 B、-1 C、3 D、6

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} = 5$ ，则 $S_{13}$ 的值等于（　　）

A、8 B、10 C、13 D、26

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4. 已知曲线 $y = \frac{x^{2}}{4} - 3 l n x + 1$ 的一条切线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则切点的横坐标为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 《吕氏春秋·音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”.如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（）

A、 $\frac{16}{27}$ B、 $\frac{27}{16}$ C、 $\frac{64}{81}$ D、 $\frac{81}{64}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + l n x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $e$

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ 上存在两点 $M$ ， $N$ 关于直线 $x - y - t = 0$ 对称，且 $M N$ 的中点在抛物线 $x^{2} = y$ 上，则实数 $t$ 的值为（）

A、0或 $- 2$ B、 $- 2$ C、0或2 D、2

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8. 若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则m的最小值是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、1 D、 $\frac{3}{e}$

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二、多选题

9. 在公比q为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} \cdot a_{4} = 32$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列说法正确的是（）.

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 510$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (0) = 5$ ，且 $f (x) - f^{'} (x) > 2$ ，则使不等式 $f (x) \leq 3 e^{x} + 2$ 成立的 $x$ 的值不可能为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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11. 已知O为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（）

A、当AB过焦点F时， $△ M C D$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A F} = - 2 \vec{B F}$ ，则直线AB的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ C、若 $∠ A F B = 120 °$ ，且 $| B F | = 2 | A F |$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |} = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$ D、若 $△ A O F$ 外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 $\frac{9}{4} π$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，前n项积为 $T_{n}$ ， $a_{n} \neq 0$ ，且 $\frac{1}{2^{a_{2}} + 1} + \frac{1}{2^{a_{2020}} + 1} \leq 1$ （）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $S_{2021} \geq 0$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{1011} \leq 0$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $T_{2020} > 0$ D、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $a_{2020} < 0$

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三、填空题

13. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n + a$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 3^{n} + b$ ，（其中 $a$ 、 $b$ 为实数）则 $a + b$ 的值为 .

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14. 若函数 $f (x) = - x^{2} + a x$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上恰有一个极值点，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 已知两个等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n}{2 n + 1}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{5}} =$ .

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16. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得 $| A B | = 4 b$ ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - a x + b$ ， $f (1) = 2$ ， $f^{'} (1) = 2$ ；

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程.

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18. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (\frac{1}{2} ， m)$ 在抛物线上，且 $△ O A F$ 的面积为 $\frac{p^{2}}{4}$ (O为坐标原点)．

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、过点 $M (2 ， 0)$ 的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{3}} + ⋯ + \frac{1}{T_{n}}$ ．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $M ， N$ ，记 $△ F_{1} M N$ 的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线 $l$ 的方程，并求出最大值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{n} = (2 n + 1) a_{n} - 2 n^{2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ， $n b_{n + 1} = a_{n} b_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $λ + \frac{n + 9}{2^{n}} \geq 4 - T_{n} (n \in N^{*})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = - x l n x + a (x + 1) ， a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 2 a$ 在 $[2 ， + ∞)$ 上恒成立．求 $a$ 的取值范围；

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