安徽省皖北县中联盟2022-2023学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {(x ， y) | x + y = 3} ， N = {(x ， y) | x - y = 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${(2 ， 1)}$ C、 ${(1 ， 2)}$ D、 $(2 ， 1)$

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2. 下列表示同一个函数的是（）

A、 $y = l n e^{x}$ 与 $y = e^{l n x}$ B、 $y = t^{\frac{1}{2}}$ 与 $y = \sqrt[4]{x^{2}}$ C、 $y = x^{0}$ 与 $y = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $y = l o g_{2} x$ 与 $y = l o g_{\frac{1}{2}} (- x)$

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 的图像过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为减函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $(0 ， + \infty)$ C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 的定义域为R

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4. 已知 $a > 0$ ， $b \in R$ ，则 $a > | b |$ 是 $a > b$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} ， x \geq 0 ， \\ 2^{a x} ， x < 0 ， \end{array}$ 若 $f (1 - a) = f (a - 1)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ 或 $1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$ 或 $1$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{4} + | x |}$ ，设 $a = f (l o g_{3} 0.2) ， b = f (l o g_{3} 0.3) ， c = f (0 . 2^{0.3})$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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7. 用二分法求函数 $f (x) = l g x + x - 3$ 的一个零点，根据参考数据，可得函数 $f (x)$ 的一个零点的近似解（精确到 $0.1$ ）为（）
（参考数据： $l g 2.5 \approx 0.398 ， l g 2.75 \approx 0.439 ， l g 2.625 \approx 0.419 ， l g 2.5625 \approx 0.409$ ）

A、2.4 B、2.5 C、2.6 D、2.56

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8. 甲，乙两位同学解关于x的方程 $4^{x} + b \cdot 2^{x} + c = 0$ ，甲写错了常数c，得到 $x = - 1$ 或 $x = l o g_{2} \frac{7}{4}$ ，乙写错了常数b，得到 $x = 0$ 或 $x = - 1$ ，则不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， 2)$ B、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- 2 ， - \frac{1}{4})$ D、 $(- 1 ， 0)$

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二、多选题

9. 下列函数有最小值的是（）

A、 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = 2 x + \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ D、 $f (x) = l g (\sqrt{x} + 1)$

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10. 若 $l o g_{a} b < 0$ ，则函数 $f (x) = a^{x} + b$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $x y \geq 2$ B、 $x + y \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} x + l o g_{2} y \leq 1$ D、 $2^{x} 2^{y} \leq 4^{\sqrt{2}}$

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12. 已知函数 $f (x) = | l o g_{a} x - a | - a$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），则（）

A、 $f (x)$ 有两个零点 B、 $f (x)$ 不可能为偶函数 C、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(a ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， a^{a})$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - ln x}$ 的定义域为．

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14. 若“ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - 2 x_{0} - a < 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是．

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15. 郭老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ；③在 $(0 ， + \infty)$ 上为单调减函数．郭老师说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确．请你写出一个这样的函数 $f (x) =$ ．

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16. 已知关于x的不等式 $\frac{x + k}{\sqrt{x}} - k > 0$ 恒成立，则实数k的取值范围是．

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 ${(\frac{1}{125})}^{- \frac{1}{3}} - \sqrt[3]{(- 8)^{2}} + l o g_{2} 15 - l o g_{2} 60$ ；

(2)、若 $4^{x} = 2 5^{y} = 10$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值．

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18. 函数 $f (x) = 2^{x}$ 和 $g (x) = x^{3}$ 的大致图象如图所示，两个函数的图象在第一象限内的交点为 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) ， x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、指出图中曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 分别对应哪一个函数（无需证明）；

(2)、比较 $f (6) ， g (6) ， f (10) ， g (10)$ 的大小，并按从小到大的顺序用“<”连接起来；

(3)、若 $x_{1} \in [a ， a + 1] ， x_{2} \in [b ， b + 1]$ ，其中a，b为整数，求a，b的值．

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19. 已知集合 $A = {x | - 2 x^{2} + x + 3 \geq 0}$ ， $B = {x | (a - 1) x^{2} - a^{2} x \leq 0}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，判断命题 $p$ ： $\forall x \in A ， x \in B$ 的真假，并说明理由；

(2)、若 $a > 1$ 时， $B = [m ， n]$ ，求 $n - m$ 的最小值．

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20. “平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．改造后的房子不仅有漂亮外观，还能解决顶层渗漏等问题，达到隔热的效果．近年来，某县持续关注民生，推进民房屋顶平改坡工程，对全县 $a m^{2}$ 的老房子进行平改坡（且每年平改坡面积的百分比相等）．若改造到面积的一半时，所用时间需 $10$ 年，已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（参考数据： ${(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{9}} \approx 0.9259 ， {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{10}} \approx 0.9330 ， {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{11}} \approx 0.9389$ ）

(1)、求每年平改坡的百分比；

(2)、到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot g (x) + 2^{x}}{a \cdot 4^{x}}$ （ $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ）．请在下面三个函数① $g_{1} (x) = 2 x$ ， ② $g_{2} (x) = x^{2}$ ， ③ $g_{3} (x) = 8^{x}$ 中选择一个函数作为 $g (x)$ ，使得 $f (x)$ 具有奇偶性．

(1)、请写出 $g (x)$ 的表达式，并求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $y = f (2 x) + f (x)$ 的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (\frac{4}{x} - 1) ， g (x) = l o g_{2} \sqrt{x + a}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域，并证明 $f (x)$ 的图象关于点 $(2 ， 0)$ 对称；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 有解，求实数a的取值范围．

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