安徽省江南十校2022-2023学年高一上学期数学12月分科诊断摸底联考试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0} ， B = {1 ， 2}$ ，集合 $C = {x | x = a b ， a \in A ， b \in B}$ ，则C的子集的个数为（）

A、3 B、8 C、7 D、16

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2. 命题“ $\forall x \in R^{+}$ ，都有 $e^{x} \in R^{+}$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R^{+}$ ，使得 $e^{x} \notin R^{+}$ B、 $\exists x \notin R^{+}$ ，使得 $e^{x} \notin R^{+}$ C、 $\exists x \in R^{+}$ ，使得 $e^{x} \in R^{+}$ D、 $\exists x \notin R^{+}$ ，使得 $e^{x} \in R^{+}$

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3. “ $s i n θ = 1$ ”是“ $θ = \frac{π}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $b > c > 0 > a$ ，则 $\sqrt[a]{b} < \sqrt[a]{c}$ D、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$

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5. 函数 $f (x) = l o g_{0.5} (x^{2} - 1)$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 3 x + a$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、 $\frac{23}{4}$ B、 $\frac{27}{4}$ C、 $- \frac{27}{4}$ D、 $- \frac{23}{4}$

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7. 已知 $a = s i n 53 ° ， b = l o g_{5} 2 ， c = 0 . 5^{0.8}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{l o g_{a} | x + m |}{2 x^{2} + b}$ 的图象如图所示，当 $x < n$ 时，有 $f (x) > 0$ ，则下列判断中正确的是（）

A、 $a > 1 ， m > 0 ， b < 0$ B、 $a > 1 ， m < 0 ， b > 0$ C、 $0 < a < 1 ， m < 0 ， b > 0$ D、 $0 < a < 1 ， m < 0 ， b < 0$

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二、多选题

9. 下列三角函数值为负数的是（）

A、 $t a n (- \frac{3 π}{4})$ B、 $t a n 505 °$ C、 $s i n 7.6 π$ D、 $s i n 186 °$

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10. 下列关于幂函数说法正确的是（）

A、图像必过点 $(1 ， 1)$ B、可能是非奇非偶函数 C、都是单调函数 D、图像不会位于第四象限

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11. 若实数m，n满足 $n^{2} + 2 m n = 4$ ，其中 $n > 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、n的最大值为2 B、 $m + n$ 的最小值为2 C、 $\frac{1}{3 n} + \frac{1}{n + 2 m}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $4 m^{2} + 3 n^{2}$ 的最小值为4

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12. 关于函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上先单调递增后单调递减 C、方程 $f (x) = m (m \in R)$ 根的个数可能为3个 D、函数值中有最小值，也有最大值

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三、填空题

13. 已知函数 $f (2 x + 1) = 4 x^{2} - 1$ ，则 $f (x) =$ ．

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14. 已知半径为1的扇形，其面积与弧长的比值为．

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15. 已知实数 $a ， b \in [0 ， 2]$ ，且 $8 + 4^{a} = 4^{b}$ ，则 $2^{b} - 2^{a}$ 的最大值是．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + 3 - a$ ，且 ${x | f (x) < 0} = {x | f (f (x)) < 0}$ ，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 如图，已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = \sqrt{- x^{2} + x + 2}} ，$ $B = {x | x < 0$ 或 $x > 5}$ ．

(1)、集合C表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C；

(2)、若集合 $D = {x | 2 a \leq x \leq a^{2} + 1}$ ，且 $D \subseteq C$ ，求实数a的取值范围．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O是坐标原点，角 $α$ 的终边 $O A$ 与单位圆的交点坐标为 $A (m ， - \frac{1}{2}) (m < 0)$ ，射线 $O A$ 绕点O按逆时针方向旋转 $θ$ 弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于 $θ$ 的函数为 $y = f (θ)$ ．

(1)、求函数 $y = f (θ)$ 的解析式．并求 $f (- \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $f (θ) = \frac{\sqrt{3}}{4} ， θ \in (0 ， π)$ ，求 $t a n (θ + \frac{π}{6})$ 的值．

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19. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数）

(1)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为 ${x | x \leq 0$ 或 $x \geq 5}$ 且 $f (1) = - 4$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1 ， 4]$ 上的最值；

(2)、若b，c均为正数且函数 $f (x)$ 至多一个零点，求 $\frac{f (2)}{b}$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = l g | 5^{x} - 2^{- x} | + a l g | 5^{x} + 2^{- x} |$ （a为常数）

(1)、当 $a = 1$ ，求 $f (- \frac{1}{2})$ 的值；（参考数据： $l g 3 = 0.5 ， l g 5 = 0.7$ ）

(2)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求a的值．

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21. 2021年11月3日，全国首条无人驾驶跨座式单轨线路——芜湖轨道交通（芜湖单轨）1号线开通初期运营．芜湖轨道交通1号线大致呈南北走向，线路全长30.52千米，车站25座．北起鸠江区宝顺路站，中途贯穿鸠江区、镜湖区和弋江区三个行政区，止于弋江区白马山站．全线高架的布置形式，也使之成为芜湖上空的一道全新风景线．据悉一号线一辆列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合中小城市的运营．日前芜湖运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y（元）与发车时间间隔t（分钟）相关：当间隔时间达到或超过12分钟后，列车均为满载状态；当 $8 \leq t \leq 12$ 时，单程营业额Y与 $4 t - \frac{60}{t} + 12$ 成正比；当 $5 \leq t < 8$ 时，单程营业额会在 $t = 8$ 时的基础上减少，减少的数量为 $40 (8 - t)^{2}$ ．

(1)、求当 $5 \leq t \leq 12$ 时，单程营业额Y关于发车间隔时间t的函数表达式；

(2)、由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均 $\frac{120}{t}$ 次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间 $t \in [8 ， 12]$ ，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额P最大？求出该最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{3 a}{x} ， x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ， a是常数．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求a的取值范围；

(2)、若函数 $g (x) = l o g_{\sqrt[a]{2}} x$ 与函数 $f (x)$ 的图象只有一个公共点，求a的取值范围．

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