安徽省安庆市怀宁县2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷

试卷更新日期：2022-12-27 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $\frac{y}{x}$ = $\frac{3}{4}$ ，则 $\frac{x + y}{x}$ 的值为（　　）

A、1 B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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2. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°} ， s i n A = \frac{5}{13}$ ，则cosB的值为（）

A、 $\frac{13}{5}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{5}{12}$

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3. 抛物线 $y = - 2 x^{2} - 8 x - 9$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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4. 如图，点A为 $∠ α$ 边上的任意一点，作 $A C ⊥ B C$ 于点C， $C D ⊥ A B$ 于点D，下列用线段比表示出 $s i n α$ 的值，正确的是（）

A、 $\frac{B D}{B C}$ B、 $\frac{A D}{A C}$ C、 $\frac{A D}{D C}$ D、 $\frac{C D}{A C}$

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5. 已知 $α$ 是锐角， $2 c o s (α + 45 °) = 1$ ，则 $α$ 的值是（）

A、 $15 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，点E是 $C D$ 的中点，则 $△ O D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比为（）

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、1：5

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7. 若函数y＝（a﹣1）x²﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（）.

A、-1 B、2 C、-1或2 D、-1或2或1

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8. 在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 各顶点的坐标分别为： $O (0 ， 0) ， A (1 ， 2) ， B (0 ， 3)$ ，以O为位似中心， $△ O A^{'} B^{'}$ 与 $△ O A B$ 位似，若B点的对应点 $B ′$ 的坐标为 $(0 ， - 9)$ ，则A点的对应点 $A ′$ 坐标为（）

A、 $(3 ， 6)$ B、 $(- 3 ， - 6)$ C、 $(3 ， - 6)$ D、 $(- 3 ， - 6)$

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则它的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，D是等边 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的一点，且 $A D ： D B = 2 ： 3$ ，现将 $△ A B C$ 折叠，使点C与D重合，折痕为 $E F$ ，点E、F分别在 $A C$ 和 $B C$ 上则 $C E ： C F =$ （）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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二、填空题

11. 抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移3个单位，所得的新抛物线的解析式为．

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12. 已知舞台 $A B$ 长 $20 m$ ，如果主持人从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且 $A P < B P$ ，那么主持人应走m（结果保留根号）

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13. 如图，点A、B分别在反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 、 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $∠ A O B = 90 °$ ， $s i n B = \frac{1}{2}$ ，则 $k =$

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14. 抛物线 $y = a x^{2} - 4 x - 1$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，

(1)、a= ．

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} - 4 x - 1 + t$ 在 $0 < x < 3$ 内与x轴只有一个交点，则t的取值范围是．

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三、解答题

15. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{27} t a n 30 ° - | 1 - \sqrt{2} | + 2 s i n 45 °$

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16. a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长，且 $a + b + c = 60$ ， $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 利民商店销售一种进价为50元/件的土特产商品，当售价为60元/件，每周可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖10件．求利民商店将售价上涨多少时每周可获得最大利润？最大利润是多少？

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18. 已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A D ⊥ B C$ 于D，E为直角边 $A C$ 的中点，过D，E作直线交 $A B$ 的延长线于F．求证： $△ D B F ∽ △ A D F$ ．

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19. 如图，一次函数 $y = k x + 2$ 的图像与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A$ ， $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n \neq 0)$ 的图像在第一象限交于点 $C$ ，若 $O A = O B$ ， $B$ 是线段 $A C$ 的中点．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式．

(2)、直接写出不等式 $k x + 2 < \frac{n}{x}$ 的解集．

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20. 如图，某超市的仓储中心有一斜坡 $A B$ ，其坡度为 $i = 1 ： 2$ ，顶部处的高 $A C = 4 m$ ， B、C在同一水平地面上．

(1)、求斜坡 $A B$ 长度；

(2)、矩形 $D E F G$ 为长方体货柜的侧面图，其中，将该货柜沿斜坡向上运送，此时 $G B = 6 m$ ，身高为 $1.5 m$ 的小明站在B处看到点D正上方 $1.5 m$ 处有一盏吊灯．求点D离地面的高度并求出小明的仰角 $α$ 的正切值．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + m x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，与x轴相交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $m$ 的值及直线 $B C$ 的表达式；

(2)、 $M$ 是第一象限内抛物线上的一点，过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ．当线段 $M D$ 的长取最大值时，求点M的坐标．

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22. 为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的 $R t △ A B C$ 的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在 $R t △ A B C$ 中，点P是 $B C$ 边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形 $A F P E$ 的顶点F，E分别在 $A B ， A C$ 上．七年级为矩形 $A F P E$ 部分，八九年级为 $△ P E C$ 和 $△ B P F$ 两部分．

(1)、若 $B P ： P C = 2 ： 3$ ，求 $S_{△ B P F}$ ；

(2)、已知 $B C = 2 ， S_{△ A B C} = 1$ ．设 $B P = x$ ，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式．

(3)、在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形 $A F P E$ 部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．

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23. 如图，设 $D$ 为锐角 $△ A B C$ 内一点， $∠ A D B = ∠ A C B + 90 °$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ B D$ ， $B E = B D$ ，连接 $E C$ ．

(1)、求 $∠ C A D + ∠ C B D$ 的度数；

(2)、若 $A C \cdot B D = A D \cdot B C$ ，
①连接 $D E$ ，求证： $△ A B C ∽ △ D E C$ ；
②求 $\frac{A B \cdot C D}{A C \cdot B D}$ 的值．

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