福建省三明市大田县2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试题

试卷更新日期：2022-12-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知在某地图上A、B两地之间的距离为 $10 c m$ ，这两地的实际距离为 $10 k m$ ，则该地图的比例尺为（）

A、 $1 ： 1$ B、 $1 ： 100$ C、 $1 ： 1000$ D、 $1 ： 100000$

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2. 用公式法解方程 $x^{2} - 2 x = 3$ 时，求根公式中的 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值分别是（）

A、 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 3$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = - 3$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ D、 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = - 3$

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3. 如图，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，则EF的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 以下条件中能判定平行四边形 $A B C D$ 为菱形的是（）

A、 $A B ⊥ B C$ B、 $A B = C D$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A C = B D$

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5. 某篮球队员在一次训练中共投篮 $80$ 次，命中了其中的 $64$ 次，该运动员在这次训练中投篮命中的频率为（）

A、0.64 B、0.8 C、1.25 D、64

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点.若 $△ A B C$ 的面积为 $1$ ，则 $△ D E F$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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7. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.已知某地92号汽油六月底的价格是7.5元/升，八月底的价格是8.4元/升.设该地92号汽油价格这两个月每月的平均增长率为 $x$ .根据题意列出方程，正确的是（）

A、 $7.5 (1 + x^{2}) = 8.4$ B、 $7.5 {(1 + x)}^{2} = 8.4$ C、 $8.4 (1 - x^{2}) = 7.5$ D、 $8.4 {(1 - x)}^{2} = 7.5$

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8. 如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”.该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若 $A F = 5$ ， $A B = 13$ ，则四边形 $E F G H$ 的面积为（）

A、25 B、49 C、64 D、144

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9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 10 = 0$ 的两个实根，则 ${x_{1}}^{3} - 10 x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、21

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - 2 x + 3$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴， $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $C$ ， $D$ ，连结 $C D$ .当 $C D$ 最小时， $P A \cdot P B =$ （）

A、 $\frac{9}{5}$ B、2 C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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二、填空题

11. 非零实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x = 3 y$ ，则 $\frac{x}{y} =$ .

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12. 正方形 $A B C D$ 的对称中心为点 $O$ ，若 $O A = 2$ ，则该正方形的周长为.

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13. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 的交点为 $O$ ， $A C = 6$ ， $C D = 5$ .若点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $A E ⊥ B C$ ，则 $A E$ 的长为.

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14. 若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a - b^{2} = 2$ ，则代数式 $a^{2} - 3 b^{2} + a$ 的最小值为.

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15. 将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ .则 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 成比例的概率为.

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到线段 $A F$ ，连接 $B F$ ， $E F$ .给出以下结论：
① $△ A E D ≌ △ A E F$ ；
② $△ A B E ≌ △ A C D$ ；
③ $B E^{2} + D C^{2} = D E^{2}$ ；
④ $\frac{B E + B F + E F}{A B} = \sqrt{2}$ .
其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 1)}^{2} = 2 x (x - 1)$ .

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18. 已知 $a ： b ： c = 4 ： 3 ： 2$ ．

(1)、若 $c = 4$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $a + b - 2 c = 9$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，且 $△ A B O$ 是等边三角形.

(1)、证明：平行四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 4$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积.

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20. 已知方程 $2 x^{2} - k x - 6 = 0$ 的一个根为 $x_{1} = - 2$ .

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、设方程的另一个根为 $x_{2}$ ，求 ${x_{1}}^{2} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot {x_{2}}^{2}$ 的值.

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21. 一个盒子中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球.求：

(1)、第一次摸到红球的概率；

(2)、两次摸到不同颜色球的概率.

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22. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、以线段 $A B$ 为边求作菱形 $A B C D$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若菱形 $A B C D$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长.

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23. 如图，在三边互不相等的 $△ A B C$ 中， $A B = 8 c m$ ， $B C = 16 c m$ .动点 $P$ 从 $A$ 开始沿 $A B$ 边运动，速度为 $2 c m /$ 秒，动点 $Q$ 同时从点 $B$ 开始沿 $B C$ 边运动，速度为 $4 c m /$ 秒，当点P到达点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 就不再运动.设 $P$ ， $Q$ 两点运动时间为 $x$ 秒，解决以下问题：

(1)、证明：当 $x = 2$ 时， $△ B P Q ∽ △ B A C$ ；

(2)、若 $△ B P Q$ 与 $△ A B C$ 相似，求 $x$ 的值.

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24. 某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行45场比赛.

(1)、求该邀请赛的参赛选手人数；

(2)、为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备4只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为10的整数倍.计划购买的某品牌羽毛球原价4元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球.甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买10只，每个的单价可降低0.05元，例如购买20只时的单价为3.9元，最低单价不能低于2.8元；乙公司一律按8折促销.若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差40元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量.

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ ， $O C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，且点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 2)$ . $D$ 是边 $O A$ 上的动点，以 $B D$ 为一边在其右侧作矩形 $B D E F$ ，其中 $D E ： B D = 2 ： 3$ ，连结 $C D$ ， $A F$ .

(1)、证明： $3 A F = 2 C D$ ；

(2)、当点 $D$ 点坐标为 $(1 ， 0)$ 时，求点 $F$ 的坐标；

(3)、证明点 $E$ 的运动范围是一条线段，并求该线段的长.

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