浙教版备考2023年中考数学一轮复习43.二次函数的动态几何问题

试卷更新日期：2022-12-25 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与x轴交于A、B两点与y轴交于点C．若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当 $△ B C P$ 的面积取得最大值时，点P的坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{25}{8})$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(3 ， 2)$

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2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + 3 x - 4$ 的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则 $P Q + \frac{\sqrt{2}}{2} P C$ 的最小值是（）

A、6 B、 $2 + \frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $2 + 3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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3. 如图，抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $A B$ 向点 $B$ 匀速运动，到达点 $B$ 停止， $P Q ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $Q (m ， n)$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．当 $t = 3$ 和 $t = 9$ 时， $n$ 的值相等．下列结论错误的是（）

A、 $t = 6$ 时， $n$ 的值最大 B、 $t = 12$ 时， $n = 0$ C、当 $t = 5$ 和 $t = 7$ 时， $n$ 的值不一定相等 D、 $t = 4$ 时， $m = 0$

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4. 如图，抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，点 $P (m ， n)$ 从点 $A$ 出发，沿抛物线向点 $B$ 匀速运动，到达点 $B$ 停止，设运动时间为 $t$ 秒，当 $t = 3$ 和 $t = 9$ 时， $n$ 的值相等．有下列结论：① $t = 6$ 时， $n$ 的值最大；② $t = 10$ 时，点 $P$ 停止运动；③当 $t = 5$ 和 $t = 7$ 时， $n$ 的值不相等；④ $t = 4$ 时， $m = 0$ ．其中正确的是（）

A、①④ B、②④ C、①③ D、②③

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5. 如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm²）.运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）

A、2 B、4 C、2 $\sqrt{3}$ D、4 $\sqrt{3}$

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6. 如图，直线l为抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右侧），过点P作 $P A ⊥ x$ 轴于点A ，作PB∥x轴交抛物线于点B ，设 $P A = h$ ， $P B = m$ ，则h与m的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 c m$ ， $B C = 4 c m$ ，点 $E$ 是 $C D$ 上的中点，点 $P$ 、 $Q$ 均以 $1 c m / s$ 的速度在矩形 $A B C D$ 边上匀速运动，其中动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A \to D \to C$ 方向运动，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发沿 $A \to B \to C$ 方向运动，二者均到达点 $C$ 时停止运动．设点 $Q$ 的运动时间为 $x$ ， $△ P Q E$ 的面积为 $y$ ，则下列能大致反映 $y$ 与 $x$ 函数关系的图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x ， △ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y ，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，一段抛物线y=﹣x²+4（﹣2≤x≤2）为C₁ ，与x轴交于A₀ ， A₁两点，顶点为D₁；将C₁绕点A₁旋转180°得到C₂ ，顶点为D₂；C₁与C₂组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），与线段D₁D₂交于点P₃（x₃ ， y₃），设x₁ ， x₂ ， x₃均为正数，t=x₁+x₂+x₃ ，则t的取值范围是（）

A、6＜t≤8 B、6≤t≤8 C、10＜t≤12 D、10≤t≤12

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10. 已知 $A (- 3 ， - 2) ， B (1 ， - 2)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 顶点在线段 $A B$ 上运动，形状保持不变，与 $x$ 轴交于 $C ， D$ 两点（ $C$ 在 $D$ 的右侧），下列结论：
①. $c \geq - 2$ ；②.当 $x > 0$ 时，一定有 $y$ 随 $x$ 的增大而增大；③.若点 $D$ 横坐标的最小值为-5，点 $C$ 横坐标的最大值为3；④.当四边形 $A B C D$ 为平行四边形时， $a = \frac{1}{2}$ .

其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{1}{2}$ 上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．

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12. 已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）对称轴上的一个动点。小明经探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定。若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ （ $a \neq 0$ ）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y=﹣2x²+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是．

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过秒钟，使△PBQ的面积最大．

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15. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，点 $D (4 ， y)$ 在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当 $B E + D E$ 的值最小时， $△ A C E$ 的面积为．

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16. 如图，抛物线y= $- \frac{1}{4}$ x²+x+3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点G，当点G的坐标为时△AFG为等腰三角形．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ 、 $A$ 两点， $Q$ 是线段 $A B$ 上的动点（不与 $A$ 、 $B$ 重合），将 $Q$ 绕点 $P (1 ， 0)$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $Q'$ ，连接 $O Q'$ ，求 $O Q'$ 的最小值．

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18. 已知抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} - (m + 1) x - 1$ 与x轴有公共点．

(1)、当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线 $C_{2}$ （如图所示），抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；

(3)、D为抛物线 $C_{2}$ 的顶点，过点C作抛物线 $C_{2}$ 的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线 $C_{2}$ 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

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19. 综合与实践
如图，抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ 与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．

(1)、求A，B，C三点的坐标；

(2)、如图2，当点D在第四象限时，连接 $B D ， C D$ 和 $B C$ ，得到 $△ B C D$ ，当 $△ B C D$ 的面积最大时，求点D的坐标；

(3)、点E在x轴上运动，以点B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．

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20. 如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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21. 探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为 $y = a x^{2}$ ，则抛物线的焦点为 $(0 ，$ $\frac{1}{4 a}$ $)$ ．如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，某款探照灯抛物线的表达式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，焦点为F．

(1)、点F的坐标是；

(2)、过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线 $A M$ 射出， $A M$ 所在直线与x轴的交点坐标为 $(4 ， 0)$ ．
① 画出沿射线 $F B$ 方向射出的光线的反射光线 $B P$ ；
② $B P$ 所在直线与x轴的交点坐标为 ▲ ．

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $A C$ ．

(1)、求点B，点C的坐标；

(2)、如图1，点 $E (m ， 0)$ 在线段 $O B$ 上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上， $O E = O F$ ，连接 $A F ， B F ， E F$ ，设 $△ A C F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B E F$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S = S_{1} + S_{2}$ ，当S取最大值时，求m的值；

(3)、如图2，抛物线的顶点为D，连接 $C D ， B C$ ，点P在第一象限的抛物线上， $P D$ 与 $B C$ 相交于点Q，是否存在点P，使 $∠ P Q C = ∠ A C D$ ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 如图，平行四边形ABCD中，DB＝ $2 \sqrt{3}$ ， AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)、如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 $\frac{2}{3}$ 秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

(2)、如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 $\sqrt{3}$ 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)、如图3，H在线段AB上且AH＝ $\frac{1}{3}$ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．

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24. 综合与探究
如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上存在一点 $P$ ，使得 $P A + P C$ 的值最小，此时点 $P$ 的坐标为；

(3)、点 $D$ 是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点 $C$ ， $B$ 重合），过点 $D$ 作 $D F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交直线 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，直线 $B C$ 把 $△ B D F$ 的面积分成两部分，使 $S_{△ B D E} ： S_{△ B E F} = 3 ： 2$ ，请求出点 $D$ 的坐标；

(4)、若 $M$ 为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点 $M$ ，使得 $△ M B C$ 是以 $B C$ 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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