浙教版备考2023年中考数学一轮复习42.二次函数与一次函数

试卷更新日期：2022-12-25 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线 $y = a x^{2} - x + 2$ （a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 1 ，或 \frac{1}{4} \leq a < \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4} \leq a < \frac{1}{3}$ C、 $a \leq \frac{1}{4} 或 a > \frac{1}{3}$ D、 $a \leq - 1 或 a \geq \frac{1}{4}$

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2. 抛物线y1=（x﹣2）²﹣1与直线y₂=x﹣1交于A、B两点，则当y₂≥y₁时，x的取值范围为（）

A、1≤x≤4 B、x≤4 C、x≥1 D、x≤1或x≥4

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3. 一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在平面直角坐标系内，已知点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 1)$ 都在直线 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ 上，若抛物线 $y = a x^{2} - x + 1 (a \neq 0)$ 与线段 $A B$ 有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ 成 $a \geq 1$ B、 $a < \frac{9}{8}$ 或 $- 2 \leq a \leq 1$ C、 $1 \leq a < \frac{9}{8}$ 或 $a \leq - 2$ D、 $- 2 \leq a < \frac{9}{8}$

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5. 已知函数 $y_{1} = m x^{2} + n$ ， $y_{2} = m x + n (m > 0)$ ，当 $p < x < q$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，则（）

A、 $0 < q - p < 2$ B、 $0 < q - p \leq 2$ C、 $0 < q - p < 1$ D、 $0 < q - p \leq 1$

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6. 如图，将抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + 2 (x \leq 0)$ 沿 $y$ 轴翻折，翻折前后的两条抛物线构成一个新图象．若直线 $y = x + m$ 与这个新图象有3个公共点，则 $m$ 的值为（）

A、 $2 + \sqrt{6}$ 或2 B、 $\frac{17}{4}$ 或2 C、2或4 D、 $\frac{17}{4}$ 或4

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7. 如图，抛物线y＝﹣2x²+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C₁ ，将C₁向右平移得C₂ ， C₂与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C₁、C₂共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）

A、 $- 2$ ＜n＜ $\frac{1}{8}$ B、 $- 3$ ＜n＜ $- \frac{7}{4}$ C、 $- 3$ ＜n＜ $- 2$ D、 $- 3$ ＜n＜ $- \frac{15}{8}$

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8. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，直线AB为“心”形对称轴，点E，F，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、8 C、10 D、 $10 \sqrt{3}$

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + h$ 交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）

A、 $a x^{2} + (b - k) x + c > h$ 的解集是 $2 < x < 4$ B、 $a x^{2} + (b - k) x + c > h$ 的解集是 $x > 4$ C、 $a x^{2} + (b - k) x + c > h$ 的解集是 $x < 2$ D、 $a x^{2} + (b - k) x + c = h$ 的解是 $x = 2$ 或 $x = 4$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a + 1 (a > 0)$ 下列结论正确是（）
①已知点 $M (4 ， y_{1})$ ，点 $N (- 2 ， y_{2})$ 在二次函数的图象上，则 $y_{1} > y_{2}$ ；②该图象一定过定点 $(5 ， 1)$ 和 $(- 1 ， 1)$ ；③直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x - 5 a + 1$ 一定存在两个交点；④当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 的最小值是 $a$ ，则 $a = \frac{1}{10}$ ；

A、①④ B、②③ C、②④ D、①②③④

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二、填空题（每空3分，共21分）

11. 定义：min{a，b}＝ ${\begin{array}{l} a (a \leq b) ， \\ b (a > b) . \end{array}$ 若函数y＝min{x＋1， $- x^{2} + 2 x + 3$ }，则该函数的最大值为.

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12. 已知二次函数y＝﹣x²+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x²+bx+c＞mx+n的解集是．

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13. 如图，一次函数 $y = a x + b (a < 0 ， b > 0)$ 的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数 $y = - k x + k (k > 0)$ 的关联二次函数是 $y = m x^{2} + 2 m x + c$ （ $m \neq 0$ ），那么这个一次函数的解析式为．

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14. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象为 $G_{1}$ ， $G_{1}$ 关于 $x$ 轴对称的图象为 $G_{2}$ ， $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 组成的图象与直线 $y = x + m$ 有3个公共点时， $m$ 的范围（或值）是．

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15. 已知二次函数y＝﹣x²+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

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16. 一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线 $A D$ ， $B C$ 为同一抛物线的一部分， $A B$ ， $C D$ 都与水平地面平行，当杯子装满水后 $A B = 4 cm$ ， $C D = 8 cm$ ，液体高度 $12 cm$ ，将杯子绕 $C$ 倾斜倒出部分液体，当倾斜角 $∠ A B E = 45 °$ 时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 $B E =$ $cm$ ，液面 $B E$ 到点 $C$ 所在水平地面的距离是 $cm$ ．

图1 图2

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三、解答题（共8题，共69分）

17. 已知二次函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.

(1)、求点A、B、D的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；

(2)、设一次函数 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过B、C两点，请直接写出满足 $y_{1} < y_{2}$ 的x的取值范围.

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18. 如图，已知二次函数y＝﹣x²+2x+3图象与x轴的其中一个交点为A，与y轴交于点B，若直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

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19. 已知二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x - 3$ 的图象与直线 $y_{2} ＝ x + 1$ 交于点A（-1，0）、点C（4，m）.

(1)、求 $y_{1}$ 的表达式和m的值；

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，求自变量x的取值范围；

(3)、将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式.

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20. 在平面直角坐标系内，二次函数y₁＝（x﹣a）²+a﹣1（a为常数）．

(1)、若函数y的图象经过点（1，0），求函数y₁的表达式．

(2)、若y₁的图象与一次函数y₂＝x+1的图象有两个交点，横坐标分别为﹣1，2，请直接写出当y₁＞y₂时x的取值范围．

(3)、已知（x₀ ， n）在函数y₁的图象上，当x₀＞2a＞0时，求证：n＞﹣ $\frac{5}{4}$ ．

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21. 已知抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A（1﹣m，0），B（1+m，0）.点A在点B的左侧，且与y轴交于点C（0，﹣3）.

(1)、求这条抛物线的解析式；

(2)、已知D为该抛物线的顶点，E为抛物线第四象限上一点，若过点E的直线l与直线BD关于直线y＝﹣x对称.
①求点E的坐标；
②直线y＝2kx+k﹣ $\frac{3}{4}$ （k＞0）与这条抛物线交于点M，N，连接ME，NE，判断ME，NE，MN之间的数量关系，并说明理由.

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22. 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在

A

处开始减速，此时白球在黑球前面

70 c m

处.

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$ （单位： $c m / s$ ）、运动距离 $y$ （单位： $c m$ ）随运动时间 $t$ （单位： $s$ ）变化的数据，整理得下表.

运动时间 $t / s$	0	1	2	3	4
运动速度 $v / c m / s$	10	9.5	9	8.5	8
运动距离 $y / c m$	0	9.75	19	27.75	36

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$ 与运动时间 $t$ 之间成一次函数关系，运动距离 $y$ 与运动时间 $t$ 之间成二次函数关系.

(1)、直接写出

v

关于

t

的函数解析式和

y

关于

t

的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

(2)、当黑球减速后运动距离为

64 c m

时，求它此时的运动速度；

(3)、若白球一直以

2 c m / s

的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由.

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23. 阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝ $- a$ 时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如，y＝x² ，在实数范围内任取x＝a时，y＝a²；当x＝ $- a$ 时，y＝ ${(- a)}^{2}$ ＝ a² ，所以y＝x²是“对称函数”.

(1)、函数 $y = 2 | x | + 1$ 对称函数（填“是”或“不是”）.当x≥0时， $y = 2 | x | + 1$ 的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时， $y = 2 | x | + 1$ 的图象.

(2)、函数 $y = x^{2} - 2 | x | + 1$ 的图象如图2所示，当它与直线y＝－x+n恰有3个交点时，求n的值.

(3)、如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0），B（2，0），C（2，－3），D（－3，－3），当二次函数 $y = x^{2} - b | x | + 1$ （b>0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围.

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24. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 由直线 $B C$ 平移得到，与 $y$ 轴交于点 $E (0 ， n)$ .四边形 $M N P Q$ 的四个顶点的坐标分别为 $M (m + 1 ， m + 3)$ ， $N (m + 1 ， m)$ ， $P (m + 5 ， m)$ ， $Q (m + 5 ， m + 3)$ .

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若点 $M$ 在第二象限，直线 $l$ 与经过点 $M$ 的双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 有且只有一个交点，求 $n^{2}$ 的最大值；

(3)、当直线 $l$ 与四边形 $M N P Q$ 、抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 都有交点时，存在直线 $l$ ，对于同一条直线 $l$ 上的交点，直线 $l$ 与四边形 $M N P Q$ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的交点的纵坐标.
①当 $m = - 3$ 时，直接写出 $n$ 的取值范围；

②求 $m$ 的取值范围.

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