浙教版备考2023年中考数学一轮复习40.二次函数与一元二次方程

试卷更新日期：2022-12-25 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 根据以下表格中二次函数y＝ax²+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax²+bx+c＝0的一个解x的范围是（）

x

0

0.5

1

1.5

2

y＝ax²+bx+c

﹣1

﹣0.5

1

3.5

7

A、0＜x＜0.5 B、0.5＜x＜1 C、1＜x＜1.5 D、1.5＜x＜2

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2. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $2 a - b = 0$ C、 $4 a + 2 b + c > 0$ D、关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根

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3. 设一元二次方程 $(x + 1) (x - 3) = a (a > 0)$ 的两实数根分别为 $α$ ， $β$ 且 $α < β$ ，则 $α$ 、 $β$ 满足（）

A、 $- 1 < α < β < 3$ B、 $α < - 1 < 3 < β$ C、 $α < - 1 < β < 3$ D、 $- 1 < α < 3 < β$

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4. 下表是部分二次函数 $a$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应值：

$x$

1

1.1

1.2

1.3

1.4

$y$

-1

-0.49

0.04

0.59

1.16

那么方程 $a x^{2} + b x - 5 = 0$ 的一个根在（）范围之间。

A、4~1.1 B、1.1~1.2 C、1.2~1.3 D、1.3~1.4

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5. 如图，已知关于x的一元二次方程 $a (x - k)^{2} - 1 = 0$ 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x ， y)的对应值如表所示，则方程ax²+bx+2.32＝0的根是（　　）

x

……

0

$\sqrt{5}$

4

……

y

……

0.32

﹣2

0.32

……

A、0或4 B、1或5 C、 $\sqrt{5}$ 或4﹣ $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{5}$ 或 $\sqrt{5}$ ﹣2

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7. 小颖用计算器探索方程ax²+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）

A、4.4 B、3.4 C、2.4 D、1.4

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8. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表：
$x$
…
-2
-1
0
1
2
…
$y$
…
0
4
6
6
4
…
则下列说法中正确的个数是（）
①方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两根为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$ ；②抛物线与y轴的交点为 $(0 ， 6)$ ；③抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ；④抛物线开口向上；

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知二次函数 $y = x^{2} - 5 x + m$ （m为常数）的图象与x轴的一个交点为 $(1 ， 0)$ ，则关于x的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + m = 0$ 的两个实数根是（）

A、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 4$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 0$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 5$

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10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为 $(- 1 ， 2)$ ， $(2 ， 1)$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - x + 2 (a \neq 0)$ 与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 1 ，或 \frac{1}{4} \leq a < \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4} \leq a < \frac{1}{3}$ C、 $a \leq \frac{1}{4} 或 a > \frac{1}{3}$ D、 $a \leq - 1 或 a \geq \frac{1}{4}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax²+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．
上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）

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12. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，那么关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + m = 0$ 有两个不相同的实数根，则 $m$ 的取值范围是 .

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13. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax²+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是．

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14. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：

x	-1	- $\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3
y	-2	$- \frac{1}{4}$	1	$\frac{7}{4}$	2	$\frac{7}{4}$	1	$- \frac{1}{4}$	-2

一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a≠0，a，b，c是常数）的两个根 $x_{1} ， x_{2}$ 的取值范围是下列选项中的哪一个（填序号）

① $- \frac{1}{2} < x_{1} < 0 ， \frac{3}{2} < x_{2} < 2$ ② $- 1 < x_{1} < - \frac{1}{2} ， 2 < x_{2} < \frac{5}{2}$

③ $- \frac{1}{2} < x_{1} < 0 ， 2 < x_{2} < \frac{5}{2}$ ④ $- 1 < x_{1} < - \frac{1}{2} ， \frac{3}{2} < x_{2} < 2$

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15. 对于实数a，b，定义运算“*”： $a*b = a^{2} － ab (a \leq b)$ ； $a*b = b^{2} － ab (a > b)$ ，关于x的方程 $(2 x － 1) * (x － 1) = m$ 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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16. 已知二次函数y=a（x-x₁）（x-x₂）与x轴的交点是（1，0）和（3，0），关于x的方程a（x-x₁）（x-x₂）=m（m>0）的两个解分别为-1和5，关于x的方程a（x-x₁）（x-x₂）=n（其中m>n>0）也有两个整数解，则这两个整数解分别是．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 若二次函数 $y = x^{2} + b x - 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，求关于x的方程 $x^{2} + b x - 3 = 5$ 的解.

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18. 某班“数学兴趣小组”对函数y=x²﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣ $\frac{5}{2}$
﹣2
﹣1
0
1
2
$\frac{5}{2}$
3
…
y
…
3
$\frac{5}{4}$
m
﹣1
0
﹣1
0
$\frac{5}{4}$
3
…

(1)、其中，m=.

(2)、根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

(3)、观察函数图象，写出两条函数的性质.

(4)、进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x²﹣2|x|=0有个实数根；

②方程x²﹣2|x|=2有个实数根.

③关于x的方程x²﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是.

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19. 我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解.如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5.

(1)、如图（乙），已画出了反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x²﹣2x﹣1＝0的正数解.（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）

(2)、选择：三次方程x³﹣x²﹣2x+1＝0的根的正负情况是　　.

A、有两个负根，一个正根 B、有三个负根 C、有一个负根，两个正根 D、有三个正根

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20. 利用图象解一元二次方程x²－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x²和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

(1)、请再给出一种利用图象求方程x²－2x－1＝0的解的方法；

(2)、已知函数y＝x³的图象(如图)，求方程x³－x－2＝0的解(结果保留两位有效数字)．

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21. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示．

(1)、求方程ax²+bx+c＝0的两个根．

(2)、当y＞0时，求x的取值范围．

(3)、当y随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

(4)、若方程ax²+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

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22. 例：利用函数图象求方程x²﹣2x﹣2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）.
解：画出函数y＝x²﹣2x﹣2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是﹣0.7，2.7.所以方程x²﹣2x﹣2＝0的实数根为x₁≈﹣0.7，x₂≈2.7.我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.……这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.

根据你对上面教材内容的阅读与理解，解决下列问题：

(1)、利用函数图象确定不等式x²﹣4x+3＜0的解集是；利用函数图象确定方程x²﹣4x+3＝ $\frac{12}{x}$ 的解是.

(2)、为讨论关于x的方程|x²﹣4x+3|＝m解的情况，我们可利用函数y＝|x²﹣4x+3|的图象进行研究.
①请在网格内画出函数y＝|x²﹣4x+3|的图象；

②若关于x的方程|x²﹣4x+3|＝m有四个不相等的实数解，求m的取值范围；

③若关于x的方程|x²﹣4x+3|＝m有四个不相等的实数解x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄（x₁＜x₂＜x₃＜x₄），满足x₄﹣x₃＝x₃﹣x₂＝x₂﹣x₁ ，求m的值.

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23. 抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于不重合的两点 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ . $x_{1} \neq x_{2}$ .

(1)、若 $x_{1} = 3$ ，当 $c + b = 2$ 时，求抛物线解析式；

(2)、若 $x_{1} = 3 x_{2}$ ，比较c与 $\frac{3}{4} b - 2$ 的大小，并说明理由；

(3)、若AB的中点坐标为 $(- 3 c^{2} - 3 c - \frac{3}{2} ， 0)$ ，且 $- 3 \leq c \leq - \frac{1}{2}$ ，设此抛物线顶点为P，交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令 $△ D E O$ 面积为S，求S的取值范围.

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24. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，且函数图象经过 $(0 ， 3)$ ， $(2 ， - 5)$ 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 $x$ 轴交点及顶点的坐标；

(2)、在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 $y \geq 3$ 时自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、若 $a + b + c = 0$ 且 $a > b > c$ ，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 两根之差等于 $a - c$ ，函数图象经过 $P (\frac{1}{2} - c ， y_{1}) ， Q (1 + 3 c ， y_{2})$ 两点，试比较 $y_{1} 、 y_{2}$ 的大小 .

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x	…	﹣3	﹣ $\frac{5}{2}$	﹣2	﹣1	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	3	$\frac{5}{4}$	m	﹣1	0	﹣1	0	$\frac{5}{4}$	3	…

x	0	0.5	1	1.5	2
y＝ax²+bx+c	﹣1	﹣0.5	1	3.5	7

$x$	1	1.1	1.2	1.3	1.4
$y$	-1	-0.49	0.04	0.59	1.16

x	……	0	$\sqrt{5}$	4	……
y	……	0.32	﹣2	0.32	……