浙教版备考2023年中考数学一轮复习39.二次函数及其图象与性质

试卷更新日期：2022-12-25 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知函数 $y = (m + 3) x^{2} + 1$ 是二次函数，则m的取值范围为（）

A、 $m > - 3$ B、 $m < - 3$ C、 $m \neq - 3$ D、任意实数

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2. 已知抛物线 $y = (a - 1) x^{2}$ 的开口向上，那么a的取值可以是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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3. 对于抛物线 $y = - 2 (x - 1)^{2} + 3$ ，下列判断正确的是（）

A、顶点 $(- 1 ， 3)$ B、抛物线向左平移 $3$ 个单位长度后得到 $y = - 2 (x - 2)^{2} + 3$ C、抛物线与y轴的交点是 $(0 ， 1)$ D、当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大

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4. 已知二次函数 $y = x^{2} + a x + b$ （a，b为常数），命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）

A、命题① B、命题② C、命题③ D、命题④

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5. 二次函数y=-x²+2x+n图象的顶点坐标是(m，1)，则m-n的值为（）

A、1 B、0 C、1 D、2

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6. 关于函数 $y = (mx + m - 1) (x - 1)$ 下列说法正确的是（）

A、无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（-1，-2） B、当 $m \neq \frac{1}{2}$ 时，函数图象与x轴总有2个交点 C、若 $m > \frac{1}{2}$ ，则当x＜1时，y随x的增大而减小 D、若m＞0时，函数有最小值是 $\frac{- 1}{4 m} - m + 1$

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7. 已知二次函数 $y = (x - \frac{1}{m}) (m x - 4 m)$ （其中m＞0），下列说法正确的是（）

A、当x＞2时，都有y随着x的增大而增大 B、当x＜3时，都有y随着x的增大而减小 C、若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则 $n \geq 2 + \frac{1}{2 m}$ D、若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则 $n \leq 2 + \frac{1}{2 m}$

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8. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 与坐标轴的交点个数为（）

A、无交点 B、1个 C、2个 D、3个

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9. 已知，二次函数y=ax²+bx-1(a，b是常数，a≠0)的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（）

A、最大值为-1 B、最小值为-1 C、最大值为 $- \frac{1}{2}$ D、最小值为 $- \frac{1}{2}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（-4，1），（-1，-4），且AD平行于x轴，当函数y＝x²+2mx-2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（）

A、1≤m≤ $\frac{3}{2}$ B、0≤m≤ $\frac{3}{2}$ C、-1＜m≤1或 $\frac{3}{2}$ ≤m＜ $\frac{9}{4}$ D、-1＜m≤0或1≤m＜ $\frac{9}{4}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 下列函数：① $y = - 5 x$ ；② $y = 3 x - 2$ ；③ $y = - \frac{3}{x} (x > 0)$ ；④ $y = 3 x^{2} (x < 0)$ ，其中y的值随x的增大而增大的函数为．（填序号）

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12. 若点 $A (- 2 ， y_{1}) ， B (- 1 ， y_{2}) ， C (1 ， y_{3})$ 都在二次函数 $y = {(x + 2)}^{2} - c$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为．（用“<”连接）

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13. 将抛物线 $y = x^{2} - 6 x + 5$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 .

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14. 若将二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 配方为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，则y=。

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 1 ， 0)$ 和点 $(2 ， 0)$ ，以下结论：
① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $a + b = 0$ ；④当 $x < \frac{1}{2}$ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有．（填写代表正确结论的序号）

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16. 如图， $△ ABC$ 是等边三角形， $A B = 3$ ，点 $D$ 为边 $B C$ 上的动点， $∠ A D E = 60 °$ ， $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，线段 $C E$ 的最大值为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²+bx-2过点C．求抛物线的表达式．

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18. 小尧用“描点法”画二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像，列表如下：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
－5
…

(1)、由于粗心，小尧算错了其中的一个 y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝；

(2)、在图中画出这个二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像；

(3)、当 y≥5 时，x 的取值范围是．

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19. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + m + 1$ 交x轴于点 $A (a ， 0)$ 和 $B (b ， 0)$ ，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求b的值．

(2)、抛物线上有两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 和 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，比较 $y_{1} ， y_{2}$ 的大小关系．

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20. 已知二次函数y＝2x²-4x-6．

(1)、将y＝2x²-4x-6化成y＝a（x-h）²+k的形式；

(2)、写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

(3)、当-1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围；

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21. 已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - 2 a$ （a＞0）

(1)、求二次函数图象的对称轴；

(2)、当 $- 2 \leq x \leq 1$ 时，y的最大值与最小值的差为2，求该二次函数的表达式；

(3)、对于二次函数图象上的两点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $t - 1 \leq x_{1} \leq t + 1 ， x_{2} \geq 3$ 时，均满足 $y_{1} \leq y_{2}$ ，请结合函数图象，求 $t$ 的取值范围。

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22. 新定义：我们把抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中 $a b \neq 0$ ）与抛物线 $y = b x^{2} + a x + c$ 称为“关联抛物线”.例如：抛物线 $y = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 的“关联抛物线”为： $y = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .已知抛物线 $C_{1} ： y = 4 a x^{2} + a x + 4 a - 3 (a \neq 0)$ 的“关联抛物线”为 $C_{2}$ .

(1)、写出 $C_{2}$ 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

(2)、若 $a > 0$ ，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 于点M，N.
①当 $M N = 6 a$ 时，求点a的坐标；
②当 $a - 4 \leq x \leq a - 2$ 时， $C_{2}$ 的最大值与最小值的差为 $2 a$ ，求a的值.

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23. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $C ， D$ 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数 $y = m x + n$ 的图像过点 $B ， D$ ．

(1)、直接写出点 $C ， D$ 的坐标；

(2)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的解析式；

(3)、将二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图像向左平移2个单位，再向下平移2个单位，写出得到的图象的解析式；

(4)、根据图象求 $a x^{2} + b x + 3 > m x + n$ 中 $x$ 的取值范围．

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24. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 4$ 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)、A，B，C三点的坐标为，，；

(2)、连接 $A P$ ，交线段 $B C$ 于点D，
①当 $C P$ 与x轴平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的值；

②当 $C P$ 与x轴不平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的最大值；

(3)、连接 $C P$ ，是否存在点P，使得 $∠ B C O + 2 ∠ P C B = 90 °$ ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

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x	…	－4	－3	－2	－1	0	1	2	…
y	…	5	0	－3	－4	－3	0	－5	…