浙教版备考2023年中考数学一轮复习37.反比例函数的动态几何问题

试卷更新日期：2022-12-25 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，等腰△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC=BC，当顶点C在函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是（）

A、一直不变 B、先增大后减小 C、先减小后增大 D、先增大后不变

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2. 函数y＝ $\frac{4}{x}$ 和y＝ $\frac{1}{x}$ 在第一象限内的图象如图，点P是y＝ $\frac{4}{x}$ 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝ $\frac{1}{3}$ AP．其中所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④

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3. 如图，点A是双曲线 $y = \frac{3}{x}$ 在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．下列结论：①连接OC，则 $A B ⊥ O C$ ；②点C在函数 $y = - \frac{9}{x} (x > 0)$ 上运动．则（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都对 D、①②都错

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4. 如图，点A（a，1），B（b，3）都在双曲线 $y = - \frac{3}{x}$ 上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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5. 如图，过双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上的动点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $P$ 是直线 $A B$ 上的点，且满足 $A P = 2 A B$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交此双曲线于点 $C$ ．如果 $△ A P C$ 的面积为8，则 $k$ 的值为（）

A、10 B、8 C、16 D、12

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6. 如图，在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上有一动点 $A$ ，连接 $A O$ 并延长交图象的另一支于点 $B$ ，在第二象限内有一点 $C$ ，满足 $A C = B C$ ，当点 $A$ 运动时，点 $C$ 始终在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上运动，若 $t a n ∠ C A B = 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-12 B、-6 C、-18 D、-24

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7. 如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（）

A、不变 B、越来越大 C、越来越小 D、先变大后变小

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8. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝ $\frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0，x＞0），y＝ $\frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k₁﹣k₂的值为（　　）

A、12 B、﹣12 C、6 D、﹣6

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9. 如图，矩形 $A O B C$ 的顶点坐标分别为 $A (0 ， 3) ， O (0 ， 0) ， B (4 ， 0) ， C (4 ， 3)$ ，动点F在边 $B C$ 上（不与 $B 、 C$ 重合），过点F的反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与边 $A C$ 交于点E，直线 $E F$ 分别与y轴和x轴相交于点D和G.给出下列命题：①若 $k = 4$ ，则 $△ O E F$ 的面积为 $\frac{16}{3}$ ；②若 $k = \frac{21}{8}$ ，则点C关于直线 $E F$ 的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是 $0 < k < 12$ ；④若 $D E \cdot E G = \frac{25}{12}$ ，则 $k = 1$ .其中正确的命题个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ $(x > 0)$ 的图象上有动点A，连接OA， $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k=1；② $S_{△ B O C} = \frac{3}{2}$ ；③ $S_{△ C D F} = \frac{3}{16} S_{△ A O C}$ ，④若BD=AO，则∠AOC=2∠COE．其中正确的是（）

A、①③④ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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二、填空题（每空3分，共21分）

11. 如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0，5)、(0，2)、(1，2)，将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y= $\frac{10}{x}$ (x>0)的图象有公共点，则t的取值范围是．

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12. 将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点E在AD上， $D E = \frac{1}{4} A D$ ，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上.

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13. 如图所示，双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 上有一动点A，连接 $O A$ ，以O为顶点、 $O A$ 为直角边，构造等腰直角角形 $O A B$ ，则 $△ O A B$ 面积的最小值为．此时A点坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A(a，4)为第一象限内一点，且a＜4.连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则a的值等于.

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15. 如图， $A$ 、 $B$ 是函数 $y = \frac{6}{x}$ 上两点， $P$ 为一动点，作 $P B ∥ y$ 轴， $P A ∥ x$ 轴，若 $S_{△ B O P} = 2$ ，则 $S_{△ A B P} =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为．

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三、解答题（共8题，共69分）

17. 如图，直线 $y = a x + 6$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $B (1 ， m)$ ．

(1)、求k的值；

(2)、点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作 $D C ⊥ y$ 轴交线段AB于点C，连接AD，求 $△ A C D$ 的面积的最大值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 3 \sqrt{3} ， 3)$ ，点 $B (- 6 ， 0)$ .

(1)、若将 $△ O A B$ 沿 $x$ 轴向右平移 $m$ 个单位，此时点 $A$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{6 \sqrt{3}}{x}$ 的图象上，求 $m$ 的值；

(2)、若 $△ O A B$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $α$ 度 $(0 < α < 180)$ .
①当 $α = 3 0^{∘}$ 时，点 $B$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上，求 $k$ 的值；

②问点 $A ， B$ 能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出 $α$ 的值；若不能，请说明理由.

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19. 如图1，点A（1，0），B（0，m）都在直线y＝﹣2x+b上，四边形ABCD为平行四边形，点D在x轴上，AD=3，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x>0）的图象经过点C．

(1)、求k的值；

(2)、将图1的线段CD向右平移n个单位长度（n≥0），得到对应线段EF，线段EF和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x>0）的图象交于点M．
①在平移过程中，如图2，若点M为EF的中点，求△ACM的面积；
②在平移过程中，如图3，若AM⊥EF，求n的值．

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20. 已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式和点E的坐标；

(2)、直接写出不等式 $\frac{k}{x}$ ＞mx+n的解集；

(3)、点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；

(4)、点P为x轴上一点，点Q为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知：如图1，点 $A (4 ， n)$ 是反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 图象上的一点．

(1)、求 $n$ 的值和直线 $O A$ 的解析式；

(2)、如图2，将反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象绕原点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后，与 $y$ 轴交于点 $M$ ，求线段 $O M$ 的长度；

(3)、如图3，将直线 $O A$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ ，与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $B$ ，求点 $B$ 的坐标．

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22. 在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点

(1)、如图1，求反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）的解析式；

(2)、如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k≠0）图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4．
①求点F的坐标；

②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．

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23. 如图，动点P在函数y $= \frac{3}{x}$ （x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y $= - \frac{1}{x}$ 的图象于点A、B，连接AB、OA、OB．设点P横坐标为a．

(1)、直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；

(2)、点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；

(3)、在平面内有一点Q （ $\frac{1}{3}$ ， 1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．

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24. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过线段 $O A$ 的端点 $A (m ， 4)$ ，线段 $O A$ 与x轴正半轴的夹角为 $α$ ，且 $t a n α = 2$ ．

(1)、求反比例函数和直线 $O A$ 的解析式；

(2)、把线段 $O A$ 沿x轴正方向平移3个单位得到线段 $C B$ ， $C B$ 与上述反比例函数的图象相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得 $| D Q - A Q |$ 的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若P为函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上一动点，过点P作直线 $l ⊥ x$ 轴于点M，直线l与四边形 $O A B C$ 在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且 $n < 3$ ，当 $\frac{P N}{P M} = \frac{1}{4}$ 时，求出n的值．

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