2023年中考数学复习考点一遍过——一元二次方程

试卷更新日期：2022-12-24 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 若x＝﹣1是方程x²+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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2. 李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）

A、10.5% B、10% C、20% D、21%

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3. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意列出方程，正确的是（）

A、 $6.2 (1 + x)^{2} = 8.9$ B、 $8.9 (1 + x)^{2} = 6.2$ C、 $6.2 (1 + x^{2}) = 8.9$ D、 $6.2 (1 + x) + 6.2 (1 + x)^{2} = 8.9$

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4. 关于x的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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5. 用配方法解一元二次方程 $3 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ 时，将它化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，则a+b的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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6. 若 $x = - 2$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）

A、0，-2 B、0，0 C、-2，-2 D、-2，0

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7. 一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 8 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 2 + 2 \sqrt{3} ， x_{2} = 2 - 2 \sqrt{3}$ B、 $x_{1} = 2 + 2 \sqrt{2} ， x_{2} = 2 - 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} = - 2 + 2 \sqrt{2} ， x_{2} = - 2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $x_{1} = - 2 + 2 \sqrt{3} ， x_{2} = - 2 - 2 \sqrt{3}$

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8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 m - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) - 2 x_{1} x_{2} = 17$ ，则 $m =$ （）

A、2或6 B、2或8 C、2 D、6

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9. 已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x²+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A、m≥ $\frac{2}{3}$ B、m＜ $\frac{2}{3}$ C、m＞ $\frac{2}{3}$ 且m≠1 D、m≥ $\frac{2}{3}$ 且m≠1

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10. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1}^{3} - 2022 x_{1} + x_{2}^{2}$ 的值是（）

A、4045 B、4044 C、2022 D、1

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二、填空题（每题3分，共28分）

11. 方程2x²+1=3x的解为．

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12. 一元二次方程 $(x - 2) (x + 7) = 0$ 的根是.

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13. 若一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值是.

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14. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 配方为 ${(x - 2)}^{2} = k$ ，则k的值是.

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15. 设方程x²﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x₁、x₂ ，则x₁＋x₂﹣x₁x₂的值是.

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16. $α$ 、 $β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - x + k - 1 = 0$ 的两个实数根，且 $α^{2} - 2 α - β = 4$ ，则 $k$ 的值为．

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17. 将一个容积为360cm³的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．

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18. 若一元二次方程x²＋x－c＝0没有实数根，则c的取值范围是．

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19. 关于x的一元二次方程2x²+4mx+m=0有两个不同的实数根x₁ ， x₂ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \frac{3}{16}$ ，则m= ．

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20. 已知x₁、x₂是关于x的方程x²﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ ＝x₁²+2x₂﹣1，则k的值为 .

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三、解答题（共7题，共62分）

21. 解方程： $(2 x + 3)^{2} = (3 x + 2)^{2}$

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22. 如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260 m² ，道路的宽应为多少？

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23. 阅读材料，解答问题：
材料1

为了解方程 ${(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ，如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体，然后设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 13 y + 36 = 0$ ，经过运算，原方程的解为 $x_{1 ， 2} = \pm 2$ ， $x_{3 ， 4} = \pm 3$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，显然m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由书达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ 的解为；

(2)、间接应用：
已知实数a，b满足： $2 a^{4} - 7 a^{2} + 1 = 0$ ， $2 b^{4} - 7 b^{2} + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知实数m，n满足： $\frac{1}{m^{4}} + \frac{1}{m^{2}} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m^{4}} + n^{2}$ 的值．

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24.

(1)、a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示.
用“<”或“>”填空：ab，ab0；

(2)、在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.
①x²+2x−1=0；②x²−3x=0；③x²−4x=4；④x²−4=0.

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25. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．

(1)、若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

(2)、矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米．

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26. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 m^{2} = 0$ .

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个实数根分别为 $α$ ， $β$ ，且 $α + 2 β = 5$ ，求 $m$ 的值.

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27. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.

(1)、求4月份再生纸的产量；

(2)、若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加 $m %$ .5月份每吨再生纸的利润比上月增加 $\frac{m}{2} %$ ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求 $m$ 的值；

(3)、若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了 $2 5%$ .求6月份每吨再生纸的利润是多少元？

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