江西省2022-2023学年高二上学期数学12月统一调研测试试卷

试卷更新日期：2022-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(0 ， - \frac{1}{2})$

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2. 过点 $(2 ， 3)$ 且一个方向向量为 $(1 ， - 1)$ 的直线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y + 1 = 0$ D、 $x - y - 5 = 0$

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3. 已知点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若 $\vec{O P} = m \vec{O A} + n \vec{O B} + 2 \vec{O C}$ 则 $m + n$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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4. 为了深入贯彻党中央“动态清零”的疫情防控要求，更好地开展常态化疫情防控核酸检测服务工作，现选派5名党员志愿者参加星期一至星期五(每人一天)的值日，协助免费采样工作.根据大家的时间安排，志愿者中的A必须排在B前面值日，则不同的安排方法种数为（）

A、36 B、60 C、118 D、120

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5. 已知圆 $O_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $O_{2} ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = a$ 的公共弦所在直线经过原点，则实数 $a$ 的值为（）

A、6 B、4 C、 $- 6$ D、 $- 4$

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6. 已知直线 $l ： x s i n α + y c o s α = 2 (α \in R)$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 16$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、与 $α$ 有关的不确定值

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7. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2 A A_{1}$ ，当 $\vec{A_{1} C} = λ \vec{A_{1} P}$ 时，有 $D_{1} P / /$ 平面 $B D C_{1}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 已知点 $A (0 ， 2 \sqrt{2}) ， B (2 \sqrt{2} ， 0)$ ，点P为圆 $x^{2} + y^{2} - 5 \sqrt{2} x + \sqrt{2} y + 12 = 0$ 上一点，则 $| P A | - | P B |$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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二、多选题

9. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (3 ， x ， - x)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (2 ， x ， 5)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则实数x的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 对于曲线 $C ： \frac{x^{2}}{8 - k} - \frac{y^{2}}{k - 2} = 1$ ，下列说法正确的有（）

A、曲线C不可能是圆 B、曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 C、若 $k > 8$ ，则曲线C为椭圆 D、若曲线C为双曲线，则 $2 < k < 8$

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11. 已知空间四边形OABC的各边及对角线AC，OB的长度均相等，E，F分别为OA，BC的中点，则（）

A、 $O F / / B E$ B、 $\vec{O A} ⊥ \vec{B C}$ C、 $2 \vec{E F} = \vec{O B} + \vec{O C} - \vec{O A}$ D、 $c o s ⟨ \vec{C E} ， \vec{B F} ⟩ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且AB⊥BF，则C的离心率为（）

A、 $\frac{| B F |}{| A F |}$ B、 $\frac{| A B |^{2}}{| A F |^{2}}$ C、 $\frac{| A F | \cdot | B F |}{| A B |^{2}}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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三、填空题

13. 已知直线 $x + m y - 2 = 0$ 在两坐标轴上的截距相等，则实数 $m$ 的值为.

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14. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为

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15. 设n∈N $+$ ，且 $1 9^{2022} + n$ 能被6整除，则n的值可以为.(写出一个满足条件的n的值即可)

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16. “双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为 $i (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 6)$ ，则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为.(用数字作答)

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四、解答题

17. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4.

(1)、求动点M的轨迹C的方程：

(2)、已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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18. 已知二项式 ${(x + \frac{a}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中____，____.给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.

(1)、求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求 $(x \sqrt{x} - 1) {(x + \frac{a}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中的常数项.

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19. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 是边长为 $2$ 的菱形， $△ A D E$ 是等边三角形， $∠ B E D = 6 0^{∘}$ ，平面 $A D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 的中点.

(1)、证明： $A C / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小.

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20. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{1}{2}$ ，记动点M的轨迹为曲线C

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程.

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21. 在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $B_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为边 $B C$ 的中点， $△ A B C$ 为正三角形，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为2，

(1)、证明： $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，且 $| P F_{1} |$ 的最大值为3， $| P F_{2} |$ 的最小值为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $M (3 ， 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过点 $M$ 且与直线 $l$ 垂直的直线与 $y$ 轴交于点 $N$ ，当 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 取得最大值时，求直线 $l$ 的方程.

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