辽宁省鞍山市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y | y = s i n x ， x \in R}$ ， $N = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1)$

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2. 下列命题中，是真命题的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > x^{2}$ C、 $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$ D、若 $x$ ， $y \in R$ 且 $x + y > 2$ ，则 $x$ ， $y$ 至少有一个大于1

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3. 把120个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、6 D、11

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4. 已知 $z_{1} ， z_{2}$ 为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）
①若 $| z_{1} | \leq 1$ ，则 $- 1 \leq z_{1} \leq 1$ ；
②若 $z_{1} = \bar{z_{1}}$ ，则 $\bar{z_{1}} \in R$ ；
③若 $| z_{1} | + | z_{2} | = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ ；
④若 $z_{1} + z_{2}$ 是虚数，则 $z_{1} ， z_{2}$ 都是虚数.

A、①④ B、② C、②③ D、①②③

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5. 设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ 在 $1 \leq x \leq 2$ 上有解，则（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq \frac{5}{2}$ D、 $a \geq \frac{5}{2}$

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6. 下列说法正确的有（）

A、若向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 C、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是三个非零向量，若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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7. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，若当 $0 < x \leq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x + 9$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 8$ D、8

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8. 已知定义域为 $(0 ， + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且函数 $g (x) = (l o g_{3} x - 1) \cdot f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 有极小值 $f (6)$ ，极大值 $f (1)$ B、 $f (x)$ 有极小值 $f (6)$ ，极大值 $f (10)$ C、 $f (x)$ 有极小值 $f (1)$ ，极大值 $f (3)$ 和 $f (10)$ D、 $f (x)$ 有极小值 $f (1)$ ，极大值 $f (10)$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (m - 2 ， - n)$ ，其中 $m$ ， $n$ 均为正数，且 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $2 m + n = 4$ D、mn的最大值为2

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10. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n^{2} α + c o s 2 α = \frac{1}{4}$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $t a n 2 α = - \sqrt{3}$ B、 $t a n 2 α = \sqrt{3}$ C、 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $t a n α = \sqrt{3}$

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11. 下列命题正确的有（）

A、若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{5}$ ， $S_{10}$ ， $S_{15}$ 也成等差数列 B、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} a_{7} + a_{3} a_{6} = 4$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{8} =$ $16$ C、若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 12$ ，且 $S_{12} > 0$ ， $S_{13} < 0$ ，则可知数列前 $6$ 项的和最大 D、若 $b_{n} = {(- 1)}^{n} (4 n - 1)$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前2020项和为4040

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12. 已知函数 $f (x) = | s i n x | \cdot | c o s x |$ ，则有（）

A、 $(2 π ， 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ 在 $[1 ， e]$ 上的最小值为．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{5 π}{6}$ ， $| \vec{A B} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{A C} | = 4$ ， $\vec{B D} = 3 \vec{B C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ = ．

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15. 若 $α$ 是第二象限角，且 $s i n (α + β) c o s β - s i n β c o s (α + β) = \frac{5}{13}$ ，则 $t a n \frac{α}{2}$ 等于.

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16. 已知函数 $f (x) = | l g x |$ ，若存在 $0 < a < b$ 且 $f (a) = f (b)$ ，使得 $m \geq a + 3 b$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上为增函数，求a的取值范围.

(2)、若 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- 1 ， 1)$ ，求a的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{2} + x) + \sqrt{3} \sin (π - x) \cos x - \cos 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，将每个点的横坐标缩短为原来的一半，再将函数图象向上平移 $\frac{1}{2}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象．求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $2 S_{n} \cdot S_{n + 1} = - a_{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，求 $b_{1} + b_{21}$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(- \infty ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$ 上的奇函数，当 $x ≥ 1$ 时， $f (x) = 4 x - x^{2}$ .

(1)、求 $x \leq - 1$ 时 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{f (x) - 9}{x}$ 的值域.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3 n - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - 1$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + (2 n - 1)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式.

(2)、若 $c_{n} = \frac{a_{n} \cdot b_{n}}{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知 $f (x) = l n (1 + x) + a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $- 1 < a < 0$ 时，研究函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(3)、是否存在实数 $a$ 使得函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 和 $(0 ， + ∞)$ 上各恰有一个零点？若存在，请求出实数 $a$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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