江苏省苏州市2022-2023学年高三上学期数学12月阶段性检测试卷

试卷更新日期：2022-12-23 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x = 2 n ， n \in Z}$ ， $N = {x | x = 2 n + 1 ， n \in Z}$ ， $P = {x | x = 4 n ， n \in Z}$ ，则（）

A、 $M ∩ P = M$ B、 $P ∩ M = P$ C、 $N \cap P \neq \emptyset$ D、 $M \cap N \neq \emptyset$

查看试题解析
2. 六氟化硫，化学式为 $S F_{6}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为 $2 \sqrt[3]{3}$ ，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（）．（氟原子的大小可以忽略不计）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 已知复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = - 1 + 2 i$ ， $z_{3}$ 在复平面上对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若四边形 $O A B C$ 为平行四边形（ $O$ 为复平面的坐标原点），则复数 $z_{3}$ 的模为（）

A、 $\sqrt{17}$ B、17 C、 $\sqrt{15}$ D、15

查看试题解析
4. 已知点 $A (- 1 ， 1 ， 0) ， B (1 ， 2 ， 0) ， C (- 2 ， - 2 ， 0) ， D (3 ， 3 ， 0)$ ， $\vec{e}$ 是与 $\vec{C D}$ 方向相同的单位向量，则 $\vec{A B}$ 在直线 $C D$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \vec{e}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2} \vec{e}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \vec{e}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{15}}{2} \vec{e}$

查看试题解析
5. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x$ ，其中 $ω > 0$ ．若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4]$ B、 $(0 ， \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{5}{2} ， 3]$ D、 $(0 ， \frac{1}{3}] \cup [\frac{5}{2} ， 3]$

查看试题解析
6. 如图， $A B$ 为定圆 $O$ 的直径，点 $P$ 为半圆 $A B$ 上的动点.过点 $P$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，过 $Q$ 作 $O P$ 的垂线，垂足为 $M$ .记弧 $A P$ 的长为 $x$ ，线段 $Q M$ 的长为 $y$ ，则函数 $y = f (x)$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知 $a = s i n \frac{1}{11}$ ， $b = \frac{1}{11}$ ， $c = l n 1.1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
8. 已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C₁： $(x + 1)^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C₂ ，若曲线C₂与圆C₁有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（　　）

A、（-1，0） B、（1，4） C、（0，6） D、（-1，5）

查看试题解析

二、多选题

9. 如图所示，已知几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，则（）

A、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $A_{1} D ∥$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ C、异面直线 $A_{1} D$ 与 $A B_{1}$ 所成的角为60° D、 $A_{1} D ⊥ B_{1} D_{1}$

查看试题解析
10. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（）

A、B的最小值为 $\frac{π}{3}$ B、 $c o s (A - C) + c o s B = 1 - c o s 2 B$ C、 $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = \frac{1}{s i n B}$ D、 $\frac{b}{a}$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2})$

查看试题解析
11. 已知 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为6，点 $M (\sqrt{6} ， 1)$ 在椭圆 $C$ 外，点 $N$ 在椭圆 $C$ 上，则下列说法中正确的有（）

A、椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ B、椭圆 $C$ 上存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ C、已知 $E (0 ， - 2)$ ，当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 时， $| N E |$ 的最大值为 $\sqrt{13}$ D、 $\frac{| N F_{1} | + | N F_{2} |}{| N F_{1} | \cdot | N F_{2} |}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
12. 设函数 $f (x) = \frac{s i n π x}{x^{2} - x + \frac{5}{4}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $1$ B、 $| f (x) | \leq 4 | x |$ C、曲线 $y = f (x)$ 存在对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 存在对称中心

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $α$ 是第四象限角，且 $\frac{1 - c o s 2 α}{c o s α} = \frac{16}{3}$ ，则 $c o s (α + \frac{3 π}{2}) =$ .

查看试题解析
14. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，若直线l与圆C交于A，B两点，则△ABC的面积最大值为.

查看试题解析
15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， C的上顶点为A，两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与C交于D，E两点， $| D E | = 6$ ，则 $△ A D E$ 的周长是．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = 4 x + 2 s i n x + l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ，若不等式 $f (3^{x} - 9^{x}) + f (m \cdot 3^{x} - 2) < 0$ 对任意 $x \in R$ 均成立，则 $m$ 的取值范围为

查看试题解析

四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} + a_{n} = n (n \in N^{*})$ ，且 $b_{n} = (2 n - 1) (1 - a_{n})$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 3$

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ，$ 已知 $a s i n 2 B - \frac{c}{2} s i n 2 A = a s i n A c o s C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $A C$ 边上有一点 $D$ ，满足 $a (\vec{B D} \cdot \vec{B A}) = c (\vec{B D} \cdot \vec{B C})$ ，且 $B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值.

查看试题解析
19. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A C = A A_{1}$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $\vec{B M} = λ \vec{B C_{1}} ， \vec{C N} = λ \vec{C A_{1}} (0 < λ < 1)$ ．

(1)、证明： $M N$ ∥平面 $A B C$ ；

(2)、当 $M N$ 最短时，求二面角 $A_{1} - M N - C_{1}$ 的余弦值．

查看试题解析
20. 在平面四边形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．

(1)、若cos∠CBD＝ $\frac{11}{16}$ ，求 $s i n C$ ；

(2)、记四边形ABCD的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值．

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为S，当 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ 时， $S = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、如图，PF₁ ， PF₂的延长线分别交椭圆于点M， N，记 $△ M F_{1} F_{2}$ 和 $△ N F_{1} F_{2}$ 的面积分别为S₁和S₂.
（i）求证：存在常数λ，使得 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} = \frac{λ}{S}$ 成立；
（ii）求S₂- S₁的最大值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} + s i n x - 2 x - a$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、记 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，存在 $x_{1} < x_{2} ，$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明：
① $f (x)$ 存在唯一极小值点；
② $x_{1} + x_{2} < 2 (1 - l n a)$ .

查看试题解析