江苏省常州市金坛区2022-2023学年高三上学期数学阶段性质量检测二

试卷更新日期：2022-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x \in R ∣ - 1 < x \leq 8}$ ，集合 $N = {x \in R ∣ x^{3} \notin M}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $[2 ， 8)$ C、 $(2 ， 8]$ D、 $(- 1 ， 8]$

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2. 已知 $z_{1} = \frac{2}{1 - i} ， z_{2} = 1 + a i$ （其中 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ）， $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，则 $| z_{2} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 已知 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (3 ， m)$ ，若非零向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} / / \vec{c} ， \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 已知 $x = l o g_{0.5} 2 ， y = l o g_{0.9} 0.5 ， z = 0 . 5^{0.9}$ ，则 $x ， y ， z$ 的大小关系是（）

A、 $z > y > x$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $y > z > x$

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5. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则以下结论不正确的是（）

A、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $\forall x \in R ， f (x) \geq f (- \frac{5 π}{12})$ C、在 $[- \frac{π}{2} ， π]$ 上的零点之和为 $π$ D、最大值点到相邻的最小值点的距离为 $\sqrt{4 + π^{2}}$

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6. 已知非零实数 $x ， y ， z$ 满足 $x > y > z ， x + y + z = 0$ ，则以下不等关系一定成立的是（）

A、 $\frac{x}{y} > \frac{z}{y}$ B、 $\frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2$ C、 $\frac{z}{x} + \frac{x}{z} \leq - 2$ D、 $\frac{x}{z} \in (- 2 ， - \frac{1}{2})$

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7. 函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (1 + x) = - f (1 - x) ， f (2 + x) = f (2 - x) ， f (x)$ 是（）

A、偶函数，又是周期函数 B、偶函数，但不是周期函数 C、奇函数，又是周期函数 D、奇函数，但不是周期函数

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且函数 $f (x)$ 在定义域内的图象是连续不间断的， $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (- x) = 6 x^{2}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) - 6 x > 0$ ，若 $f (2 t - 1) - f (t + 2) \leq 3 (3 t^{2} - 8 t - 3)$ ，则在以下四个取值中，实数 $t$ 不能取的值为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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二、多选题

9. 某小区通过开设公益讲座以提高居民的环境保护意识，为了解讲座的效果，随机抽取10位小区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份环境保护的知识问卷，这10位小区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则以下结论正确的是（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数大于 $70 %$ B、讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前问卷答题的正确率的极差 C、讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后问卷答题的正确率的方差 D、讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 $90 %$

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10. 已知直线 $l$ 与平面 $α ， β ， γ$ ，能使得 $α ∥ γ$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ β ， γ ⊥ β$ B、 $. l ⊥ α ， l ⊥ γ$ C、 $α ∥ β ， β ∥ γ$ D、 $l ∥ α ， l ∥ γ$

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11. 如图，椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆 $C_{2}$ 的右顶点为椭圆 $C_{1}$ 的中心，设椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 的长半轴长分别为 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ ，半焦距分别为 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ ，离心率分别为 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ ，则以下结论中正确的是（）

A、 $e_{2} = 2 e_{1} - 1$ B、 $a_{1} c_{2} > a_{2} c_{1}$ C、 $a_{1} + c_{2} = a_{2} + c_{1}$ D、 $a_{1} - 2 c_{2} > 2 a_{2} - c_{1}$

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 6 0^{∘}$ ，若 $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，且 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} ， (λ ， μ \in R)$ ，则以下结论中正确的是（）

A、 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 4 λ + 3 μ$ B、 $\vec{A O} \cdot \vec{A C} = \frac{9}{2}$ C、 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $2 π$ D、 $2 λ + 3 μ = \frac{5}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 成等比数列，且其公比 $q \neq 1$ ，若在数列 ${a_{n}}$ 中删掉某一项之后，得到的新数列（顺序不变）成等差数列，则满足题意的公比 $q$ 的所有取值之积为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 在定义域内恒满足 $4 f (x) f (y) = f (x + y) + f (x - y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{4}$ ，则 $f (2022)$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 5 ， x < 1 \\ x + \frac{1}{x} + 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- \frac{3}{2})) =$ ；若当 $x \in [m ， n]$ 时， $f (x) \in [4 ， 5]$ ，则 $m - n$ 的最小值是.

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16. 在正四面体 $A - B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边的中点，过点 $E$ 作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积 $S$ ，最小的截面面积为 $T$ ，则 $\frac{T}{S} =$ ；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = \frac{3}{4} a_{n} + \frac{1}{4} b_{n} + 1 ， b_{n + 1} = \frac{3}{4} b_{n} + \frac{1}{4} a_{n} + 1$ ，其中 $n \in N^{*} ，$ 且 $a_{1} = 2 ， b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}^{2} - b_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对应的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} - a^{2} = a c$ .

(1)、若角 $A ， B ， C$ 的大小成等差数列，证明： $△ A B C$ 为直角三角形；

(2)、若角 $A ， B ， C$ 的大小成等比数列，求角 $B$ 的大小.

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19. 如图， $P O$ 为三棱锥 $P - A B C$ 的高， $P A = P B ， ∠ A B O = 3 0^{∘} ， ∠ C B O = 1 5^{∘}$ ， $∠ B A C = 12 0^{∘} ， D$ 在棱 $P B$ 上，且 $P D = 2 D B$ .

(1)、求证： $O D$ $∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P O = 2 \sqrt{2} ， P A = 3$ ，求二面角 $C - A D - B$ 的正弦值.

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20. 汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素，我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业快速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份 $t$
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码 $x (x = t - 2016)$
1
2
3
4
5
销量 $y$ 万辆
10
12
17
20
26

(1)、统计表明销量 $y$ 与年份代码 $x$ 有较强的线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破100万辆；

(2)、为了了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有 $w$ 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.
①若 $w = 95$ ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为 $p$ ，若将样品中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 $f (p)$ ，求 $w$ 取何值时， $f (p)$ 最大.
附：若 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ 为样本点， $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 为回归直线，则 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b x}$ .

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21. 已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆 $C$ 上的点到准线的最短距离为2，且椭圆 $C$ 上的点到焦点的距离的最大值为3.设点 $A ， F$ 分别为椭圆 $C$ 的右顶点和左焦点，过点 $F$ 的直线交椭圆 $C$ 于点 $M ， N$ ，直线 $A M ， A N$ 分别与直线 $l ： x = - 3$ 交于点 $P ， Q$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $F P$ 和直线 $F Q$ 的斜率之积为定值；

(3)、求 $△ A F P$ 与 $△ A F Q$ 面积之和的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{m x}}$ 和 $g (x) = \frac{l n (m x)}{x}$ 有相同的最大值.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、证明：存在直线 $y = n$ ，其与两曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

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年份 $t$	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码 $x (x = t - 2016)$	1	2	3	4	5
销量 $y$ 万辆	10	12	17	20	26