湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高二上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-12-23 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + i}$ ，则 $| z - \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知抛物线 $C ： x = a y^{2} (a \neq 0)$ ，则抛物线 $C$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{4 a} ， 0)$ B、 $(\pm \frac{1}{4 a} ， 0)$ C、 $(0 ， 4 a)$ D、 $(0 ， \pm 4 a)$

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3. 过点 $P (- 2 ， 3)$ 且与直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $2 x - y + 7 = 0$ B、 $x - 2 y + 8 = 0$ C、 $x + 2 y - 4 = 0$ D、 $x - 2 y + 7 = 0$

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4. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$ 在 $x$ 轴截得的弦长是（）

A、8 B、6 C、5 D、 $6 \sqrt{2}$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $| F_{1} F_{2} |$ 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（）．

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1)$

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6. 已知棱长为12的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ ，若从点 $Q (3 ， 2)$ 发射平行于 $x$ 轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于 $B$ 点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{25}{8}$ B、 $\frac{25}{16}$ C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{25}{18}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点和右焦点分别为 $A ， F$ ，双曲线右支上存在一点 $P$ ，满足 $| A F | = 2 | P F |$ ， $∠ P F A = 2 ∠ P A F$ ，则 $C$ 的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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二、多选题

9. 智能制造是发展壮大战略性新兴产业，加快形成现代产业体系的重要手段.如图是2016—2020年我国智能制造装备产值规模及智能制造系统解决方案市场规模柱状图，则下列说法正确的是（）

A、2016—2020年智能制造系统解决方案市场规模逐年增长 B、2017—2020年智能制造系统解决方案市场规模增长量逐年增大 C、2018年智能制造装备产值规模增长量最大 D、2020年智能制造装备产值规模比2016年增长超过10000亿

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10. 若曲线 $C$ 方程为 $\frac{y^{2}}{a} - \frac{x^{2}}{b} = 1$ ，则（）．

A、曲线 $C$ 可能是圆 B、曲线 $C$ 是椭圆的充要条件是 $a b < 0$ C、若 $a = b$ ，则曲线 $C$ 一定是双曲线 D、若 $a > - b > 0$ ，则曲线 $C$ 的离心率 $e = \sqrt{1 + \frac{a}{b}}$

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11. 已知点 $Q$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 上，动点 $P$ 的坐标为 $(a ， a) (a \in R)$ ，则（）

A、 $| P Q |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ B、 $| P Q |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ C、当直线 $P Q$ 的斜率不存在时， $| P Q |$ 的最大值为1 D、当直线 $P Q$ 的斜率不存在时， $| P Q |$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若椭圆上一点 $P$ 满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，且 $S_{△ P F_{1} F_{2}} = 6$ ，则椭圆方程可能为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{b} \neq \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 国家速滑馆是2022年北京冬奥会的标志性场馆，赛时作为速度滑冰项目的比赛和训练场地.由国家速滑馆屋顶的正上方往下看其图形为椭圆形，长轴和短轴尺寸分别为198m和124m，张拉后形成屋面造型所需的马鞍面.设计团队在开展结构模型试验研究时，在实验室里搭建起一座几何相似比为 $1 ： 12$ 的“迷你骨架”，从施工可行性到受力性能对设计成果进行了全方位验证，确保整个工程设计万无一失，则该“迷你骨架”由正上方往下看所示的几何图形的离心率约为.（参考数据： $\frac{6 2^{2}}{9 9^{2}} \approx 0.4$ ）

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15. 过抛物线 $C ： x^{2} = 2 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ ，若 $\vec{O E} = 3 (\vec{O A} + \vec{O B})$ （ $O$ 为坐标原点），且点 $E$ 在抛物线 $C$ 上，则直线 $l$ 的斜率为.

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16. 某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为 $F (10 ， 0)$ ， $Q (30 ， 9)$ ，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为.（填写坐标即可）

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四、解答题

17. 中国教育部日前对全国政协《关于进一步落实青少年抑郁症防治措施的提案》进行了答复，其中明确将抑郁症筛查纳入学生健康体检内容，并明确指出对青少年进行预防抑郁症教育是实施素质教育、促进青少年全面发展、保障青少年身心健康的一项重要工作.某研究机构为了解家长们对抑郁症的关注情况，随机抽取了100位家长进行调查，并将调查结果整理得到下列统计表：

关注抑郁症
未关注抑郁症
合计
男性家长
20
女性家长
25
合计
45
100

(1)、补充上述统计表，并估计家长未关注抑郁症的概率；

(2)、教育部开展了“抑郁症”的问答活动，从家长中选出甲、乙两位代表组队参加活动，每轮活动甲乙各回答一道题目，甲答对每道题目的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙答对每道题目的概率为 $\frac{4}{5}$ ，甲和乙的回答相互独立，求家长队在两轮活动中答对3个题目的概率.

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18. 已知双曲线 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上，渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，且双曲线 $C$ 的焦点到渐近线的距离为2.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $y = k x + 2$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ ，若 $O A ⊥ O B$ ，求 $k$ 的值（ $O$ 为原点）.

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上，且 $△ O A B$ （ $O$ 为原点）为等边三角形， $| O A | = | O B | = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若直线 $l$ 过直线 $A B$ 与 $x$ 轴的交点，且与抛物线交于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ O M N$ 的重心的轨迹方程.

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20. 如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B E ⊥ A D$ 于 $E$ ，且 $D E = 2 B C = 2 B E$ ，将梯形 $A B C D$ 沿 $B E$ 折叠成如图2所示的几何体， $∠ A E D = 60 °$ ， $F$ 为直线 $A D$ 上一点，且 $C F ⊥ A D$ 于 $F$ ， $G$ 为线段 $E D$ 的中点，连接 $F G$ ， $C G$ .

(1)、证明： $A D ⊥ F G$ ；

(2)、若图1中， $A D = 6$ ，求当四棱锥 $A - B C D E$ 的体积最大时，平面 $A B C$ 与平面 $C F G$ 所成锐角的正弦值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{k - 6} - \frac{y^{2}}{k + 6} = 1$ 的焦距长为8.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $k > 0$ ，过点 $(4 ， 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = 14 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $x$ 轴上一点 $F (1 ， 0)$ 的直线与椭圆交于 $A ， B$ 两点，过 $A ， B$ 分别作直线 $l ： x = a^{2}$ 的垂线，垂足为 $M$ ， $N$ 两点，证明：直线 $A N$ ， $B M$ 交于一定点，并求出该定点坐标.

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	关注抑郁症	未关注抑郁症	合计
男性家长	20
女性家长		25
合计	45		100