湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2022-12-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例如图所示，现从中按分层抽样抽取25人进行优质课展示，则应抽取高中部男教师的人数为（）

A、3 B、6 C、7 D、9

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2. 已知直线 $a x + y - 1 = 0$ 与直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 垂直，则（）

A、 $a = 1$ B、 $b = 1$ C、 $a = - 1$ D、 $b = - 1$

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3. 笼子中有1只鸡和2只兔子，从中依次随机取出1只动物，直到3只动物全部取出．如果将2只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第二只被取出的动物的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点， $\frac{C M}{C B} = \frac{1}{3}$ ， $P N = N D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A P} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{M N}$ 用 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为基底表示为（）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l ： y = x + m$ 与椭圆C交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的面积是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{32}{9}$

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6. 已知直线 $l$ 经过点 $A (2 ， 3 ， 1)$ ，且 $\vec{n} = (\sqrt{2} ， 0 ， \sqrt{2})$ 是 $l$ 的方向向量，则点 $P (4 ， 3 ， 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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7. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，过F₂的直线与C交于A，B两点．若 $| A F_{2} | = 3 | F_{2} B |$ ， $5 | A B | = 4 | B F_{1} |$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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8. 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 $\frac{| M Q |}{| M P |} = λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ ，那么点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点 $M$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，定点 $Q$ 为 $x$ 轴上一点， $P (- \frac{1}{2} ， 0)$ 且 $λ = 2$ ，若点 $B (1 ， 1)$ ，则 $2 | M P | + | M B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{11}$

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二、多选题

9. 中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的若干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.下图是2019年1月至2020年6月中国仓储业务量指数走势图，则下列说法正确的是（）

A、2019年全年仓储业务量指数的极差为24% B、两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高 C、两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2019年低于2020年 D、2019年仓储业务量指数的中位数为59%

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10. 已知曲线 $E$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = | x | + | y |$ ，则（）

A、曲线 $E$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、曲线 $E$ 围成的图形面积为 $π + 2$ C、若点 $(x_{0} ， y_{0})$ 在曲线 $E$ 上，则 $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \leq x_{0} \leq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ D、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 能覆盖曲线 $E$ ，则 $r$ 的最小值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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11. 已知F为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左焦点，直线l： $y = k x$ $(k \neq 0)$ 与椭圆C交于A，B两点， $A E ⊥ x$ 轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）

A、 $| A F | + | B F | = 8$ B、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{4}{| B F |}$ 的最小值为2 C、直线BE的斜率为 $\frac{1}{2} k$ D、 $∠ P A B$ 为钝角

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12. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 为正三棱柱，且 $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $A_{1} D$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积为 $20 π$ B、若直线 $P B$ 与底面 $A B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{7}}{7} ， \frac{1}{2}]$ C、若 $A_{1} P = 2$ ，则异面直线 $A P$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、若过 $B C$ 且与 $A P$ 垂直的截面 $α$ 与 $A P$ 交于点 $E$ ，则三棱锥 $P - B C E$ 的体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 $\frac{1}{2}$ ，丙购买到冰墩墩的概率为 $\frac{1}{5}$ ，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为．

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14. 如图，平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中， $| A B | = | A D | = | A A_{1} | = 1$ ，∠BAD＝∠BAA₁＝120°，∠DAA₁＝60°，则线段AC₁的长度是。

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交椭圆于 $A ， B$ 两点，直线 $A F_{2}$ 与椭圆的另一个交点为C，若 $S_{△ A B C} = 3 S_{△ B C F_{2}}$ ，则椭圆的离心率为 .

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16. 以三角形边 $B C$ ， $C A$ ， $A B$ 为边向形外作正三角形 $B C A^{'}$ ， $C A B^{'}$ ， $A B C^{'}$ ，则 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ 三线共点，该点称为 $△ A B C$ 的正等角中心．当 $△ A B C$ 的每个内角都小于120°时，正等角中心点P满足以下性质：
（1） $∠ A P B = ∠ A P C = ∠ B P C = 120 °$ ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得 $\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 1)^{2}} + \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分 $(95$ 分及以上为认知程度高 $)$ ，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组： $[20 ， 25) ，$ 第二组： $[25 ， 30) ，$ 第三组： $[30 ， 35) ，$ 第四组： $[35 ， 40) ，$ 第五组： $[40 ， 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)、根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲 $($ 年龄 $36)$ ，乙 $($ 年龄 $42)$ 两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.

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18. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1=0上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $P C$ 的中点．

(1)、证明： $D F / /$ 平面 $P B E$ ；

(2)、求点 $F$ 到平面 $P B E$ 的距离．

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20. 我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。

(1)、从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；

(2)、假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

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21. 如图1，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $E ， F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，将正方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为 $6 0^{°}$ ，点 $M$ 在线段 $A B$ 上(包含端点)运动，连接 $A D$ .

(1)、若 $M$ 为 $A B$ 的中点，直线 $M F$ 与平面 $A D E$ 的交点为 $O$ ，试确定点 $O$ 的位置，并证明直线 $O D / /$ 平面 $E M C$ .

(2)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $D E$ 与平面 $E M C$ 所成的角为 $6 0^{°}$ ？若存在，求此时平面 $M E C$ 与平面 $E C F$ 的夹角的余弦值；若不存在，请说明理由

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右两个顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ， $T$ 为直线 $l ： x = 4$ 上的动点，且 $T$ 不在 $x$ 轴上，直线 $T A_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$ ，直线 $T A_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ， $F$ 为椭圆 $C$ 的左焦点，求证： $△ F M N$ 的周长为定值．

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