新疆喀什地区伽师县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知 $A (- 1 ， 0 ， 0) ， B (1 ， 2 ， - 2) ， C (0 ， 0 ， - 2) ， D (2 ， 2 ， - 4)$ ，则以下错误的是（）

A、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 6$ B、 $\vec{A C} ， \vec{A B}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ C、A，B，C，D共面 D、点O到直线AB的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2. 已知点 $A (1 ， \sqrt{3}) ， B (- 1 ， 3 \sqrt{3})$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 若椭圆 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ 上一点A到焦点 $F_{1}$ 的距离为3，则点A到焦点 $F_{2}$ 的距离为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 已知 $P ， Q$ 分别是直线 $l ： x - y - 2 = 0$ 和圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，圆 $C$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A (1 ， 0)$ ，则 $| P A | + | P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - 1$

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5. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，其中 $a > b > 0$ .若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦距之比为 $1 ： 3$ ，则 $C_{2}$ 的渐近线方程为（）

A、 $2 x \pm \sqrt{5} y = 0$ B、 $\sqrt{5} x \pm 2 y = 0$ C、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ D、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$

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6. 已知a，b都是实数，那么“ $a > 2$ ”是“方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x - a = 0$ 表示圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，记 $\vec{B A} = \vec{a} ， \vec{B B_{1}} = \vec{b} ， \vec{B C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C_{1} A} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- k^{2} ， 1)$ ， $k \in R$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若存在实数m，使得 $| \vec{b} | c o s θ - \sqrt{5} m > 0$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(0 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， \frac{2}{5})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、已知直线 $(a + 2) x + 2 a y - 1 = 0$ 与直线 $3 a x - y + 2 = 0$ 垂直，则实数a的值是 $- \frac{4}{3}$ B、直线 $m x - y + 1 - m = 0$ 必过定点 $(1 ， 1)$ C、直线 $y = 3 x - 2$ 在y轴上的截距为 $- 2$ D、经过点 $(1 ， 3)$ 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 4 = 0$

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10. 已知点P在曲线 $y = e^{x}$ 上，点P与点Q关于y轴对称，点P与点R关于x轴对称，点R与点S关于直线 $y = x$ 对称，则下列说法正确的是（）

A、点Q与点R关于原点对称 B、点S在曲线 $y = - ln (- x)$ C、设O为坐标原点， $\sin ∠ S P O$ 的值不随点P位置的改变而改变 D、当且仅当点P与点Q重合时， $| Q S |$ 取最小值 $\sqrt{2}$

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11. 在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC（）

A、垂直 B、相交 C、共面 D、异面

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且双曲线C的左焦点在直线 $x + y + \sqrt{5} = 0$ 上，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $k_{1} k_{2}$ 为定值 $\frac{1}{4}$ D、存在点P，使得 $k_{1} + k_{2} = 1$

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三、填空题

13. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为.

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14. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - y = 0$ ，则它的圆心坐标为．

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15. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ (如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是．

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16. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x - 2 c o s x (x \in R)$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ ； $f (x)$ 的最大值为

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (3 ， - 4) 、$ $B (0 ， 4) 、$ $C (- 6 ， 0)$ ，求：

(1)、BC边上的高AD所在直线的一般式方程；

(2)、BC边上的中线AM所在直线的一般式方程.

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 所对的角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，已知 $a + 3 b c o s A = 3 c$ .

(1)、求 $s i n B$ ；

(2)、若 $a = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点；且 $B D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 已知直线 $l_{1} ： m x - y + 1 - 4 m = 0 (m \in R)$ ， $l_{2} ： 3 x - 4 y - 21 = 0$ ．圆 $C$ 满足条件：①经过点 $P (3 ， 5)$ ；②当 $m = 0$ 时，被直线 $l_{1}$ 平分；③与直线 $l_{2}$ 相切．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、对于 $m \in R$ ，求直线 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为整数的弦共有几条．

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20. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1} = 2$ ，E，F分别为AC和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点， $B F ⊥ A B$ ．

(1)、证明： $B F ⊥ D E$ ；

(2)、若D为 $A_{1} B_{1}$ 中点，求平面 $B B_{1} C_{1} C$ 与平面DFE所成锐角的余弦值．

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21. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6， $P A = P D = 3 \sqrt{2}$ ， PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．

(1)、证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)、求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，以点 $A$ 为圆心的圆 $A$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $O$ 交于 $B$ ， $C$ 两点.

(1)、当 $r = \sqrt{2}$ 时，求 $B C$ 的长；

(2)、当 $r$ 变化时，求 $\vec{A B} · \vec{A C}$ 的最小值；

(3)、过点 $P (6 ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $A$ 切于点 $D$ ，与圆 $O$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，若点 $E$ 是 $D F$ 的中点，试求直线 $l$ 的方程.

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