山东省泰安市2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 经过 $A (0 ， \sqrt{3} - 1)$ ， $B (3 ， - 1)$ 两点的直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 若 $\vec{a} = (- 2 ， 4 ， 1)$ 与 $\vec{b} = (2 ， m ， - 1)$ 共线，则 $m =$ （）

A、－4 B、－2 C、2 D、4

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3. 已知圆M的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ，则圆心M的坐标为（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(2 ， - 4)$ D、 $(- 2 ， 4)$

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4. 两条平行直线 $l_{1}$ ： $3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $3 x - 4 y - 9 = 0$ 间的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、3 D、5

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5. 已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1 ， - 2 ， 2)$ ，点 $A (0 ， 1 ， 0)$ 为 $α$ 内一点，则点 $P (1 ， 0 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 已知圆M： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 内有点 $P (3 ， 1)$ ，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x + y - 4 = 0$ D、 $x - y + 2 = 0$

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7. 已知 $a$ ， $b$ 为两条异面直线，在直线 $a$ 上取点 $A_{1}$ ， $E$ ，在直线 $b$ 上取点 $A$ ， $F$ ，使 $A A_{1} ⊥ a$ ，且 $A A_{1} ⊥ b$ （称 $A A_{1}$ 为异面直线 $a$ ， $b$ 的公垂线）.已知 $A_{1} E = 2$ ， $A F = 3$ ， $E F = 5$ ， $A A_{1} = 3 \sqrt{2}$ ，则异面直线 $a$ ， $b$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 若直线 $k x + y + k = 0$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{2 x - x^{2}}$ 仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， - \frac{1}{3}) ∪ {0}$ B、 $(- 1 ， - \frac{1}{3}) \cup {0}$ C、 $[- 1 ， - \frac{1}{3}] \cup {- \frac{4}{3}}$ D、 $(- 1 ， - \frac{1}{3}] \cup {- \frac{4}{3}}$

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二、多选题

9. 已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 4)$ ， $C (- 2 ， 0)$ ，则（）

A、直线 $x - y = 0$ 与线段AB有公共点 B、直线AB的倾斜角大于 $135 °$ C、 $△ A B C$ 的边BC上的高所在直线的方程为 $x - 4 y + 7 = 0$ D、 $△ A B C$ 的边BC上的中垂线所在直线的方程为 $4 x + y + 8 = 0$

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10. 已知直线 $l$ ： $a x + b y = 1$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $M (a ， b)$ ，则（）

A、若 $M$ 在圆上，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 B、若 $M$ 在圆内，直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 C、若 $M$ 在圆外，直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、若 $M$ 在直线 $l$ 上，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切

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11. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是正方形，O为底面中心， $A_{1} O ⊥$ 平面ABCD， $A B = A A_{1} = 2$ ．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（）

A、 $\vec{O B_{1}} = (\sqrt{2} ， 0 ， \sqrt{2})$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $O B B_{1}$ C、平面 $O B B_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (0 ， 1 ， - 1)$ D、点B到直线 $A_{1} C$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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12. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 $λ (λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点C满足 $\frac{| C A |}{| C B |} = \frac{1}{2}$ ，直线l： $m x - y + m + 1 = 0$ ，则（）

A、直线l过定点 $(- 1 ， 1)$ B、动点C的轨迹方程为 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ C、动点C到直线l的距离的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ D、若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且 $| P Q | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $m = - 1$

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 2 y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 x + a y - 1 = 0$ ，若 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ，则 $a$ 的值是．

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14. 写出过 $M (4 ， 0)$ ， $N (0 ， 4)$ 两点，且半径为4的圆的一个标准方程：．

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15. 在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $Δ A B C$ 中， $A D$ 为斜边 $B C$ 上的高， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，现将 $Δ A B D$ 沿 $A D$ 翻折 $Δ A B^{'} D$ ，使得四面体 $A B^{'} C D$ 为一个鳖臑，则直线 $B^{'} D$ 与平面 $A D C$ 所成角的余弦值是.

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16. 已知 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\frac{x_{1} + y_{1} + z_{1}}{x_{2} + y_{2} + z_{2}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{2} x - 1$ ， $l_{2}$ ： $y = k x + b$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．

(1)、求k的值；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点的直线 $y = x$ 上，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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18. 已知 $A (1 ， 3 ， 4)$ ， $B (- 1 ， 5 ， 4)$ ， $C (- 1 ， 2 ， 1)$ ．

(1)、求 $⟨ \vec{A B} ， \vec{B C} ⟩$ ；

(2)、求 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量．

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19. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 4$ ， $A A_{1} = 5$ ， $∠ D A B = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， M，N分别为 $D_{1} C_{1}$ ， $C_{1} B_{1}$ 中点．

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、证明： $M N ⊥ A C_{1}$ ．

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20. 已知圆M： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ ，圆N： $x^{2} + y^{2} - 14 x - m y + 52 = 0$ ，过圆M的圆心M作圆N的切线，切线长为5．

(1)、求m的值，并判断圆M与圆N的位置关系；

(2)、过圆N的圆心N作圆M的切线l，求l的方程．

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21. 如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为 $O$ ， $O_{1}$ ，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的三条侧棱均为圆柱的母线，且 $A B = A C = \frac{\sqrt{30}}{6} O O_{1}$ ，点 $P$ 在轴 $O O_{1}$ 上运动．

(1)、证明：不论 $P$ 在何处，总有 $B C ⊥ P A_{1}$ ；

(2)、当 $P$ 为 $O O_{1}$ 的中点时，求平面 $A_{1} P B$ 与平面 $B_{1} P B$ 夹角的余弦值．

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22. 已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6 ， 4)$ ，端点 $A$ 的运动轨迹是曲线 $C$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于异于原点 $O$ 的两点 $E ， F ，$ 直线 $O E ， O F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 2$ ．若 $B D ⊥ E F$ ， $D$ 为垂足，证明：存在定点 $Q$ ，使得 $| D Q |$ 为定值．

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