山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{40}$ B、6 C、36 D、40

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + 2 y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x - a y - 1 = 0$ ．若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则实数a的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4. 若圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 与直线 $l$ 相切，且直线 $l$ 与直线 $x - 2 y = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x + 2 y + 2 = 0$ 或 $x + 2 y - 8 = 0$ B、 $2 x + y + 5 = 0$ 或 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ 或 $2 x + y - 9 = 0$ D、 $2 x - y - 5 = 0$ 或 $2 x - y - 5 = 0$

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5. 四面体 $A B C D$ 中， $A C = A D = 2 A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 2$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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6. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的洞门．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，地面宽为1m，则该洞门的半径为（）

A、1.1m B、1.2m C、1.3m D、1.5m

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7. 两平行平面 $α$ ， $β$ 分别经过坐标原点 $O$ 和点 $A (2 ， 1 ， 1)$ ，且两平面的一个法向量 $\vec{n} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ，则两平面间的距离是 $()$

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $E$ 上存在两点 $A$ 、 $B$ 满足 $\vec{F_{1} A} = 2 \vec{F_{2} B}$ ， $| A F_{2} | = \frac{4}{3} a$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知圆 $F C ⊥ E D$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 1 = 0$ 相交于 $A ， B$ 两点，则（）

A、两圆的圆心距为2 B、直线 $A B$ 与 $x$ 轴垂直 C、直线 $A B$ 的方程为 $y = - 1$ D、公共弦 $A B$ 的长为4

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10. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (1 ， 2 ， - 2)$ ， $C (0 ， 0 ， - 2)$ ，则（）

A、 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} = 4$ B、异面直线OC与AB所成角等于 $\frac{π}{3}$ C、点B到平面AOC的距离是2 D、直线OB与平面AOC所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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11. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，则（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为14 B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积最大值为12 C、存在点P使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 不可能是等腰直角三角形

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12. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、 $A_{1} C = \sqrt{3}$ B、 $A_{1} C ⊥ B D$ C、 $∠ A_{1} C A = \frac{π}{4}$ D、点 $A_{1}$ 到平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 直线l₁⊥l₂ ，若l₁的倾斜角为30°，则l₂的倾斜角为.

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14. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (m ， - 1 ， n)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m + n =$ ．

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15. 点 $A (- 2 ， 2)$ 为圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 16$ 上一点，点B在圆C上运动，点M满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ．则点M的轨迹方程为．

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16. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $D_{1} B_{1}$ 的中点，M为AC上一点，N为DE上一点，MN的最小值为．

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四、解答题

17. 在平行四边形ABCD中， $A (- 1 ， 1)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (3 ， - 2)$ ，点E是线段BC的中点．

(1)、求直线CD的方程；

(2)、求四边形ABED的面积．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D = A B = \frac{1}{2} C D = 1$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B / / C D$ ，点M为棱PA的中点．

(1)、设 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D C} = \vec{b}$ ， $\vec{D P} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{C B}$ ， $\vec{C M}$ ；

(2)、若 $P D ⊥$ 底面ABCD，且 $P D = 2$ ，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $Γ$ 的中心在原点，一个焦点为 $F (4 ， 0)$ ，点 $D (3 ， \sqrt{15})$ 在椭圆 $Γ$ 上．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、已知直线l平行于直线DF，且l与椭圆 $Γ$ 有且只有一个公共点M，求l的方程

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20. 在平面直角坐标系xOy中，点 $A (2 ， 0)$ ， $| A B | = 2$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，且点 $B$ 在第一象限．记 $△ O A B$ 的外接圆为圆 $E$ ．

(1)、求圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $D (0 ， \sqrt{3})$ 且不与y轴重合的直线l与圆E交于 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．

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21. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， E，F分别是CD，BC的中点．

(1)、求证： $E B_{1} \subset$ 平面 $D_{1} E F$ ；

(2)、点P在平面 $A E D_{1}$ 上，若 $D P = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求DP与 $B_{1} E$ 所成角的余弦值．

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22. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为4，A，B是 $Γ$ 上关于原点对称的两个动点，当 $A F_{2}$ 垂直于x轴时， $△ A B F_{2}$ 的周长为 $4 + \sqrt{13}$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知 $Γ$ 的离心率 $e < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $A F_{2}$ 与 $Γ$ 交于点M（异于点A），直线 $B F_{2}$ 与 $Γ$ 交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点．

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