山东省临沂市2022-2023学年高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \sqrt{3 - x} < 2} ， B = {1 ， 2 ， 4 ， 5}$ ，则 $B \cap (∁_{R} A) =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${4 ， 5}$

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2. 若 $z = \frac{5 i}{i - 2}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 若扇形的弧长与面积都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过 $12 m^{3}$
4元 $/ m^{3}$
超过 $12 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$
6元 $/ m^{3}$
超过 $18 m^{3}$
8元 $/ m^{3}$
若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（）

A、 $13 m^{3}$ B、 $14 m^{3}$ C、 $15 m^{3}$ D、 $16 m^{3}$

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5. 已知 $p ： x^{2} + x - 2 > 0 ， q ： x > a$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则（）

A、 $a ⩾ 1$ B、 $a ⩽ 1$ C、 $a ⩾ - 2$ D、 $a ⩽ - 2$

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6. 已知向量 $\vec{O A} = (1 ， 7) ， \vec{O B} = (5 ， 1) ， \vec{O M} = (2 ， 1)$ ，若点 $P$ 是直线 $O M$ 上的一个动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 6$ C、 $- 8$ D、 $- 10$

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7. 已知 $a = \frac{5}{4} l n \frac{5}{4} ， b = \frac{1}{4} ， c = 2 l n (s i n \frac{1}{8} + c o s \frac{1}{8})$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 函数 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调函数，且对定义域内的任意 $x$ ，均有 $f (f (x) - l n x - x) = 2$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $e + 1$ B、 $e + 2$ C、 $e^{2} + 1$ D、 $e^{2} + 2$

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二、多选题

9. 欧拉公式 $e^{x i} = c o s x + i s i n x$ （其中 $i$ 为虚数单位， $x ∈ R$ ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（）

A、 $e^{π i} = 1$ B、 $e^{\frac{π i}{2}}$ 为纯虚数 C、 $| \frac{e^{x i}}{\sqrt{3} + i} | = \frac{1}{2}$ D、复数 $e^{2 i}$ 对应的点位于第三象限

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω + φ = \frac{π}{2}$ B、 $f (- 2) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2022 ， 0)$ 对称 D、 $f (2 x)$ 在 $[3 ， 4]$ 上单调递增

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11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， $⋯$ ，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 9$ B、 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1$ C、 $a_{10} = 55$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} = \frac{2 n}{n + 1}$

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12. 若 $a > b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a l n b > b l n a$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{a}{b} ⩾ 2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 2} + \frac{b^{2}}{b + 1} ⩾ \frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $- 2 \vec{e} (\vec{e}$ 是与 $\vec{b}$ 同方向的单位向量）， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. 已知 $t a n (\frac{π}{8} - α) = \frac{2}{3}$ ，则 $s i n (\frac{π}{4} + 2 α) =$ .

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{\frac{1}{2}} (- x) - 1 ， x < 0 \\ l o g_{2} x + 1 ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (a) > f (- a)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，某摩天轮最高点距离地面高度128米，转盘直径为120米，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱，开始旋转 $t$ 分钟后距离地面的高度为 $h$ 米，则 $h$ 关于 $t$ 的函数解析式为；若游客甲在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时刻距离地面的高度相等，则 $t_{1} + t_{2}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(0 ， 2)$ ，且满足 $f (- 1) = f (3)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < (2 a - 2) x$ .

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18. 已知函数 $f (x) = c o s^{4} x + 2 s i n x c o s x - s i n^{4} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $[0 ， m]$ 上的最小值为 $g (0)$ ，求 $m$ 的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b s i n x - 2 x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线为 $y = 1$ .

(1)、求 $a ， b$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的最小值.

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $a_{n} + \frac{1}{a_{n}} = 2 S_{n}$ .

(1)、证明：数列 ${{S_{n}}^{2}}$ 为等差数列；

(2)、记 $T_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + ⋯ + \frac{1}{S_{n}}$ ，证明 $T_{n} < 2 \sqrt{n}$ .

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21. $△ A B C$ 中， $A B = 4 ， c o s A = \frac{7}{8} ， A C > A B$ .

(1)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 12$ ，求 $B C$ ；

(2)、若 $c o s (B - C) = \frac{1}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ 和 $g (x) = \frac{a x}{e^{x}}$ 有相同的最大值.

(1)、求 $a$ ，并说明函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在（1，e）上有且仅有一个零点；

(2)、证明：存在直线 $y = b$ ，其与两条曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

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每户每月用水量	水价
不超过 $12 m^{3}$	4元 $/ m^{3}$
超过 $12 m^{3}$ 但不超过 $18 m^{3}$	6元 $/ m^{3}$
超过 $18 m^{3}$	8元 $/ m^{3}$