山东省济宁市兖州区2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | y = l n (x - 1)}$ ，集合 $Q = {y | y = 2^{x - 1}}$ ，则（）

A、 $P = Q$ B、 $P$ $\underset{\neq}{\subset}$ $Q$ C、 $Q \subseteq P$ D、 $P ∩ Q = \emptyset$

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2. 给出的下列条件中能成为 $x > y$ 的充要条件的是（）

A、 $x t^{2} > y t^{2}$ B、 $\frac{x}{t} > \frac{y}{t}$ C、 $l n x > l n y$ D、 $e^{x} > e^{y}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 成等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 5 ， S_{3} = S_{9}$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、7 B、6 C、5 D、4

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4. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s (x - a) (x \leq 0) \\ s i n (x - b) (x > 0) \end{array}$ 是偶函数，则a，b的值可能是（）

A、 $a = \frac{π}{3} ， b = \frac{π}{3}$ B、 $a = \frac{π}{3} ， b = \frac{π}{6}$ C、 $a = \frac{2 π}{3} ， b = \frac{π}{6}$ D、 $a = \frac{2 π}{3} ， b = \frac{5 π}{6}$

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5. 已知向量 $\vec{m} = (a - 5 ， 1) ， \vec{n} = (1 ， b + 1)$ ，若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $\frac{1}{3 a + 2 b} + \frac{1}{2 a + 3 b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n x$ ，函数 $g (x)$ 的图象可以由函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 得到，若 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $g (x)$ 的一个极大值点， $x = - \frac{π}{6}$ 是与其相邻的一个零点，则 $g (\frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、0 C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = 3 x^{3} - \frac{2}{e^{x} + 1} + 2$ ，且 $f (a^{2}) + f (3 a - 4) > 2$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， 1)$ B、 $(- ∞ ， - 4) \cup (1 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (4 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 4)$

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8. 设 $a = 202 3^{2021} ， b = 202 2^{2022} ， c = 202 1^{2023}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足条件 $a_{1} > 1$ ， $a_{2022} \cdot a_{2023} > 1$ ， $(a_{2022} - 1) \cdot (a_{2023} - 1) < 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 为递减数列 B、 $S_{2022} + 1 < S_{2023}$ C、 $T_{2022}$ 是数列 ${T n}$ 中的最大项 D、 $T_{4045} > 1$

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10. 数学家们在探寻自然对数底 $e \approx 2.71828$ 与圆周率 $π$ 之间的联系时，发现了如下的公式：
（1） $s i n x = \frac{x}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + \dots$
（2） $e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$
（3） $c o s x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} \frac{x^{2 n - 2}}{(2 n - 2)!} + \dots$
据此判断以下命题正确的是（）（已知i为虚数单位）

A、 $e^{i x} = c o s x + i s i n x$ B、 $e^{i x} = s i n x + i c o s x$ C、 $e^{i π} + 1 = 0$ D、 $| e^{i x} + e^{- i x} | \leq 2$

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11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（）

A、 $\vec{A H}$ 与 $\vec{C F}$ 能构成一组基底 B、 $\vec{O A} + \vec{O C} = \sqrt{2} \vec{O B}$ C、 $\vec{A G}$ 在 $\vec{A B}$ 向量上的投影向量的模为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12. 设定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2) - g (1 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x + 1)$ ，且 $g (x + 1)$ 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）

A、 $g (1) = 0$ B、函数 $g^{'} (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、 $\sum_{k = 1}^{2021} f (k) g (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2022} g (k) = 0$

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三、填空题

13. 设 $a > 0 ， b > 0$ ，则使得命题“若 $l n (a + b) > 0$ ，则 $l n a + l n b > 0$ ”为假命题的一组 $a ， b$ 的值是．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 1 ， x < a ， \\ {(x - 2)}^{2} ， x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 存在最小值，a的取值范围.

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15. 若△ $A B C$ 的边长 $a ， b ， c$ 成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则 $s i n (\frac{π}{2} + A) + s i n (\frac{π}{2} - B) - c o s (A + B)$ 的取值范围是．

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16. 定义：设函数 $y = f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 上也存在导函数，则称函数 $y = f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上存在二阶导函数，简记为 $y = f^{″} (x)$ ．若在区间 $(a ， b)$ 上 $f^{″} (x) > 0$ ，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 上为“凹函数”．已知 $f (x) = \frac{1}{2} a e^{2 x} - \frac{1}{2} x^{2} (l n x - l n a - \frac{3}{2})$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上为“凹函数”，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 命题 $P ：$ 已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 4 m + 2}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且函数 $g (x) = \frac{1}{2} f (x) + 4 x - 3 l n x$ 在 $(a ， a + 1)$ 上单调递增时，实数a的范围为集合A﹔命题 $q ：$ 关于x的不等式 $(x - t^{2}) (x - 2 t + 1) \leq 0$ 的解集为B．

(1)、若命题P为真命题，求集合A；

(2)、在（1）的条件下，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分不必要条件．求实数t的取值范围．

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18. 在① $(s i n A ― s i n C) a = (b - c) (s i n B + s i n C)$ ， ② $\frac{c o s B}{c o s C} = \frac{b}{2 a - c}$ ， ③ $s i n (B + C) = \frac{a}{b} c o s (B - \frac{π}{6})$ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．

(1)、求角B；

(2)、若 $a + c = \sqrt{3}$ ，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围．

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19. 已知 $n \in N^{*}$ ，抛物线 $y = - x^{2} + n$ 与x轴正半轴相交于点A，在点A处的切线在y轴上的截距为 $a_{n}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{4 n c o s n π}{(a_{n} - 1) (a_{n} + 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前项和 $S_{n}$ ．

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20. 2022年夏季各地均出现了极端高温天气，空调便成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律．如果物体的初始温度为 $T_{0}$ ，则经过一定时间t后的温度T满足 $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 是环境温度，h称为半衰期，现将一杯80℃的茶水放在25℃的空调房间，1分钟后茶水降至75℃．（参考数据： $l g 3 \approx 0.4771$ ， $l g 5 \approx 0.6990 ， l g 11 \approx 1.0414$ ）

(1)、经研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃，为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待多少分钟?（保留整数）

(2)、为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x千台空调，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} + 10 x^{2} ， 0 < x < 40 \\ 301 x + \frac{3600}{x} - 3700 ， x \geq 40 \end{array}$ 已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大?并求出最大利润．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{3}) s i n (x + \frac{π}{6}) + 2 \sqrt{3} c o s^{2} (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (2 x) - a$ 在区间 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ 上恰有 $3$ 个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）求 $s i n (2 x_{1} + x_{2} - x_{3})$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = a x l n x + x^{2}$ ， $g (x) = e^{x} + x - 1 ， a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，求证： $f (x) < g (x)$ ．

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