山东省济宁市泗水县2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1, 2, 3}, B = {x | - 1 < x < 2, x \in Z}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{1} B、{1，2} C、{0，1，2，3} D、{－1，0，1，2，3}

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2. 命题 $“ \forall x \in R$ ，使得 $n \geq x^{2} . n \in N^{*}$ ”的否定形式是（）

A、 $\forall x \in R$ ，使得 $n < x^{2} ， n \in N^{*}$ B、 $\forall x \in R$ ，使得 $n \neq x^{2} ， n \in N^{*}$ C、 $\exists x \in R$ ，使得 $n < x^{2} ， n \in N^{*}$ D、 $\exists x \in R$ ，使得 $n \geq x^{2} ， n \in N^{*}$

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3. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）

A、 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ B、 $s = {(\sqrt{t})}^{2}$ ， $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ， $m = n + 1$ D、 $y = | x |$ ， $u = \sqrt{v^{2}}$

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4. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）

A、80 B、70 C、60 D、50

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5. 下列函数是幂函数且在 $(0 ， + ∞)$ 是减函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ C、 $y = x + x^{- 1}$ D、 $y = x^{- \frac{2}{3}}$

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6. 已知 $x > 1$ ，则 $2 x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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7. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0}, B = {x | 0 < x < 6, x \in N}$ ，则满足 $A \subseteq C \subseteq B$ 的集合 $C$ 的个数为（）

A、4 B、8 C、7 D、16

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8. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且对任意互不相等的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (- 2) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）

A、若ac²>bc² ，则a>b B、若a>b，c>d，则a+c>b+d C、若a>b，c>d，则ac>bd D、若a>b，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、“对任意一个无理数x， $x^{2}$ 也是无理数”是真命题 B、“ $x y > 0$ ”是“ $x + y > 0$ ”的充要条件 C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 = 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \neq 0$ ” D、“ $1 < x < 3$ ”是“ $x \geq 0$ ”的充分不必要条件

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11. 若 $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{a b} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a b} \geq 4$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$

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12. 符号 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- \frac{2}{3}) < f (\frac{2}{3})$ B、函数 $f (x)$ 是增函数 C、方程 $f (x) - \frac{1}{2021} = 0$ 有无数个实数根 D、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为0

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三、填空题

13. 函数 $f (x)$ = $\frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4}$ 的定义域为

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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15. 对任意 $x \in R$ ，一元二次不等式 $(k - 1) x^{2} + (k - 1) x - \frac{3}{8} < 0$ 都成立，则实数k的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - a x - 5 ， (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} ， (x > 1) \end{array}$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 \geq 0}$ ， $B = {x | 1 < x < 6}$ ， $C = {x | m + 1 < x < 2 m}$ ．

(1)、求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若 $C \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + 2 a$ ．

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $b = 2$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (- 1) = - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性并证明；

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20. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x < 0$ 时 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、请画出函数 $f (x)$ 的图象；

(3)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间.

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21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 台，另需投入成本 $p (x)$ （万元），当月产量不足70台时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ （万元）；当月产量不小于70台时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 2060$ （万元）.若每台机器售价 $100$ 万元，且该机器能全部卖完.

(1)、求月利润 $y$ （万元）关于月产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

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22. 已知函数 $y = x + \frac{k}{x} (k > 0)$ 在区间 $(0 ， \sqrt{k})$ 单调递减，在区间 $(\sqrt{k} ， + \infty)$ 单调递增．

(1)、求函数 $y = x + \frac{2}{x}$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 的单调性；（只写出结果，不需要证明）

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + 13}{x + 1} (a \in R)$ ，若对于任意的 $x \in N^{*}$ ，有 $f (x) \geq 5$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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