内蒙古自治区乌兰察布市2022-2023学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x < 2}$ ，下列正确的结论是（）

A、 ${- 1} \subseteq A$ B、 ${1} \in A$ C、 $C_{R} A = [1 ， 4) ， B \cap C_{R} A = [1 ， 2]$ D、 $\emptyset \in A$

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2. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x$ 是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）

A、－ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、－ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. $A = {x | x \leq 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | x \geq 1}$

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4. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 2}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上是减函数，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 1$ C、4 D、2或 $- 1$

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5. 设 $M = {x | - 2 \leq x \leq 2} ， N = {y | 0 \leq y \leq 2}$ ，函数 $f (x)$ 的定义域为M，值域为N，则 $f (x)$ 的图象可以是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列各组函数是同一函数的是（）
①f（x）= $x^{2}$ -2x-1 与 g（s）= $s^{2}$ -2s-1②f（x）= $\sqrt{- x^{3}}$ 与 g（x）=x $\sqrt{- x}$ ③f（x）= $\frac{x}{x}$ 与 g（x）= $\frac{1}{x^{0}}$ ④f（x）=x 与 g（x）= $\sqrt{x^{2}}$

A、①② B、①③ C、①④ D、③④

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7. $f (x) = {(x - 1)}^{0} + \sqrt{\frac{2}{x + 1}}$ 的定义域是（）

A、 $(- 1 + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $R$ D、 $(- 1 ， 1) ∪ (1 ， + \infty)$

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8. 设 $a = 3^{0.8}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.9}$ ， $c = {0.8}^{0.9}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 下列结论中不正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $2^{a - b} > 1$ ，则 $a > b$

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10. 下列函数最小值为2的是（）

A、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ C、 $y = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ D、 $y = x^{2} + \frac{1}{x} ， x > 0$

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11. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 解集为 ${x | - 1 < x < 4}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < - \frac{4}{3}}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{4} < x < 1}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 3 ， x \leq 1 \\ \frac{2 a - 1}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x^{2}$ ，则 $f (- 1) =$ .

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14. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - x + 4}{x} (x > 0)$ 的最小值为.

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15. 已知全集 $U = {x | x \in Z ， | x | ⩽ 3}$ ，集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 2 ， 1 ， 3}$ ，如图中阴影部分所表示的集合为.

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16. 命题“ $\exists x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} + x - a \leq 0$ ”为假命题，则 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 计算

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - {(\frac{3}{5})}^{0} + {(\frac{9}{4})}^{- 0.5} + \sqrt[4]{{(\sqrt{2} - e)}^{4}}$

(2)、化简 ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{(\sqrt{4 a b^{- 1}})}^{3}}{0 . 1^{- 2} {(a^{3} b^{- 4})}^{\frac{1}{2}}} (a > 0 ， b > 0)$ ．

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18. 已知全集 $U = (- \infty ， + \infty)$ ， $A = {x | 1 < x < 5}$ ， $B = {x | m < x < 1 - 3 m}$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $B \cup (∁_{U} A)$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数m的取值范围．

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} + 4 m x - 5 m^{2} < 0} (m > 0)$

(1)、若集合 $B = {x | - 5 < x < 1}$ ，求此时实数 $m$ 的值；

(2)、已知命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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20.

(1)、已知 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ， $m < 0$ ，求证： $\frac{m}{a - c} > \frac{m}{b - d}$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} + 4 = 0$ 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 $m$ 的值.

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21. 如图，长方形 $A B C D$ 表示一张 $6 \times 12$ （单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框 $A B ， A D$ 的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料 $M A N$ ，其中M，N分别在 $A B ， A D$ 上.设 $A M ， A N$ 的长分别为m分米，n分米.

(1)、求 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(2)、为使剩下木板 $M B C D N$ 的面积最大，试确定m，n的值；

(3)、求剩下木板 $M B C D N$ 的外边框长度（ $M B ， B C ， C D ， D N$ 的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.

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22. 已知函数 $f (x) = m + \frac{2}{3^{x} + 1} (m \in R)$ 为奇函数．

(1)、求实数m的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)、解关于 $t (t \in R)$ 的不等式 $f (2 t - 1) + f (t^{2} - 2) < 0$ ．

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