内蒙古自治区鄂尔多斯市2022-2023学年高三上学期理数期中试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {y | y = l n x ， x ≥ 1}$ ， $B = {y | y = 1 - 2^{x} ， x \in R}$ 则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[0 ， + \infty)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} + | z | =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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3. 下列说法正确的是（）

A、命题“若 $| x | = 5$ ，则 $x = 5$ ”的否命题为“若 $| x | = 5$ ，则 $x \neq 5$ ” B、“ $x = - 1$ ”是“ $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ”的必要不充分条件 C、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $3 x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 1 > 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} + 2 x - 1 < 0$ ” D、已知命题“ $\exists x_{0} > 2$ ， $a x_{0}^{2} - a x_{0} - 4 < 0$ ”是假命题，则 $a$ 的取值范围是 $[2 ， + ∞)$

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4. 向量 $\vec{a} = (1 ， λ)$ 与 $\vec{b} = (2 ， - 4)$ 共线，向量 $\vec{c} = (μ ， 4)$ 与 $\vec{d} = (- 4 ， 3)$ 垂直，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $5$ B、 $- 5$ C、 $11$ D、 $- 11$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{12}) s i n (ω x + \frac{5 π}{12}) (0 < ω < 1)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3} ， 0)$ 对称，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的一个单调递增区间是（）

A、 $[- \frac{3 π}{2} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[- π ， π]$ C、 $[- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ D、 $[0 ， 2 π]$

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7. 若项数为2m(m∈N^*)的等比数列的中间两项正好是方程x²＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是(　　)

A、pm B、p²m C、qm D、q²m

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8. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P A$ ， $C D$ 的中点，设 $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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9. 已知 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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10. 已知在三棱锥 $S - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $S A = S C = 2 \sqrt{2}$ ，二面角 $B - A C - S$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{124 π}{9}$ B、 $\frac{105 π}{4}$ C、 $\frac{105 π}{9}$ D、 $\frac{104 π}{9}$

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11. 对任意两个非零的平面向量 $α ， β$ ，定义 $α ∘ β = \frac{α \cdot β}{β \cdot β}$ ，若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | \geq | \vec{b} | > 0$ ， $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角 $θ \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，且 $\vec{a} ∘ \vec{b}$ 和 $\vec{b} ∘ \vec{a}$ 都在集合 ${\frac{n}{2} | n \in Z}$ 中，则 $\vec{a} ∘ \vec{b}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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12. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin \frac{π x}{m}$ ．若存在 $f (x)$ 的极值点 $x_{0}$ 满足 $x_{0}^{2} + {[f (x_{0})]}^{2} < m^{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 6) \cup (6 ， \infty)$ B、 $(- \infty ， - 4) \cup (4 ， \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， \infty)$

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二、填空题

13. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 5 \geq 0 ， \\ x - 2 y + 3 \geq 0 ， \\ x - 5 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + y$ 的最大值为．

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14. 若tanα= $\frac{3}{4}$ ，则cos²α+2sin2α= ．

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15. 函数 $f (x) = \frac{2}{3 - x} + \frac{9}{2 x}$ （ $0 < x < 3$ ）的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x - 1 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若方程 $f^{2} (x) + b f (x) + 2 = 0$ 有8个相异的实数根，则实数 $b$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知 $c o s C = \frac{13}{14} ， a = \frac{7}{3} c$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、若 $b - a = 1$ ，求cosB和a的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 4 \tan x \sin (\frac{π}{2} - x) \cos (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域与最小正周期；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的单调性.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ， $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $b_{n} = \frac{2^{a_{n}}}{(2^{a_{n}} - 1) (2^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，若 $\forall n \in N^{*} ， k > T_{n}$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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20. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是 $∠ A = 60 °$ 、边长为2的菱形，又 $P D ⊥ 底 A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，点 $M 、 N$ 分别是 $A D 、 P C$ 的中点．

(1)、证明：DN//平面PMB；

(2)、证明：平面PMB $⊥$ 平面PAD；

(3)、求二面角 $D - P A - B$ 的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - a ， g (x) = l n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、用 $m a x {m ， n}$ 表示 $m ， n$ 中的最大值，设函数 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x > 0)$ ，讨论 $h (x)$ 零点的个数.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \\ y = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array} (t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3} \cos θ$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程与曲线 $C$ 的直角坐标方程：

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于点 $A, B$ ,若点 $P$ 的坐标为 $P (\sqrt{3}, 3)$ ,求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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