江苏省南通市2022-2023学年高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $B = {6 ， 7 ， 8}$ ，若 $U = A \cup B$ ，则 $∁_{U} (A ∩ B) =$ （）

A、 ${6 ， 7}$ B、 ${4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ C、 ${4 ， 5 ， 8}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z = a + 2 i (a \in R)$ ，且 $z^{2}$ 是纯虚数，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、0 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 已知角 $α$ 满足 $g (1 - 3 t) + g (1 + t) \geq 0$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 随着我县“三河六岸”工程主要设施的陆续建成，我县的城市生态功能得到恢复，城市景观风貌持续改善，居民的幸福感不断提升.该工程中的某圆拱的跨度是96m，拱高是16m，则该圆拱所在圆的半径是（）

A、64m B、80m C、100m D、40m

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，且 $a_{3} + a_{10} = 0$ ，则集合 ${x | x = | a_{n} | ， 1 \leq n \leq 15}$ 的子集个数是（）

A、 $2^{15}$ B、9 C、1024 D、512

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $P (3 ， 4)$ ，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， \sqrt{6}]$ B、 $[3 ， 5]$ C、 $[4 ， 6]$ D、 $[15 ， 35]$

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7. 已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（）

A、 $\frac{\sqrt{35} + 16 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{5} + 16 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{16 \sqrt{70}}{9} π$ D、 $(\sqrt{35} + 16 \sqrt{2}) π$

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8. 已知 $a = \sqrt[e]{e} - 1$ ， $b = s i n \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{2 e - 1}{2 e^{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期 $T$ 满足 $\frac{π}{2} < T < \frac{3 π}{2}$ ，且 $P (- \frac{π}{8} ， 1)$ ，是 $f (x)$ 的一个对称中心，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ C、 $x = \frac{π}{8}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数

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10. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（）

A、驽马第七日行九十四里 B、第七日良马先至齐 C、第八日二马相逢 D、二马相逢时良马行一千三百九十五里

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11. 已知实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} + x y = 4$ ，则（）

A、 $- 2 ≤ y ≤ 2$ B、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \leq x + y \leq \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- 4 \leq x - y \leq 4$ D、 $\frac{8}{3} \leq x^{2} + y^{2} \leq 8$

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12. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的导数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $f (x + 2) - g (1 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x + 1)$ ，且 $g (x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $g (1) = 0$ B、 $g^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $\sum_{k = 1}^{2021} g (k) = 0$ D、 $f^{'} (1) = 0$

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中，三边长是公差为2的等差数列，若 $△ A B C$ 是钝角三角形，则其最短边长可以为.（写出一个满足条件的值即可）

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ f (x - 1) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 12) =$ .

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15. 如图是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知该模型左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且 $A B = 30 c m$ ， $A D = 20 c m$ ，则该双曲线的离心率是.
　

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为9，且其顶点均在球 $O$ 上，则当球 $O$ 的体积取得最小值时， $A P =$ ，此时球心 $O$ 到平面 $P B D$ 的距离是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a s i n B + b c o s A = 0$ ， $c o s B + \sqrt{2} c o s C = \sqrt{5}$ .

(1)、求 $t a n B$ ；

(2)、若边AB上的高为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知 $S_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $(n - 1) \sqrt{S_{n}} - n \sqrt{S_{n - 1}} = \frac{n^{2} - n}{2}$ .

(1)、证明 ${\frac{\sqrt{S_{n}}}{n}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = t a n \sqrt[3]{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n} b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图所示，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $C D ∥ B E$ ， $B D ⊥ C D$ ， $A D = B E = \sqrt{2} C D = 2$ ， $D E = \sqrt{6}$ .

(1)、记平面 $A C D$ 与平面ABE的交线为 $l$ ，证明： $l ∥ C D$ ；

(2)、求二面角 $D - B E - A$ 的余弦值.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A，B在抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上，抛物线C在A，B处的切线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点P.

(1)、若点 $P (0 ， - 2)$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.
①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.

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21. 已知 $f (x) = x^{3} - a x^{2} (a \in R)$ ，其极小值为-4.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 在 $(0 ， 3)$ 上有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $3 < x_{1} + x_{2} < 4$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，过点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = \frac{9}{4}$ ，求证：直线 $l$ 过定点.

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