吉林省长春市协作校2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - | x | (x \in R)$ B、 $y = - x^{3} - x (x \in R)$ C、 $y = (\frac{1}{2})^{x} (x \in R)$ D、 $y = - \frac{1}{x}$ $(x \in R$ ，且 $x \neq 0)$

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3. 已知 $2^{a} = 5 ， \log_{8} 3 = b$ ，则 $4^{a - 3 b} =$ （）

A、25 B、5 C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4. 下列命题中真命题的个数有（）
① $\forall x \in R ， x^{2} - x + \frac{1}{4} \geq 0$ ；② $\exists x > 0 ， l n x + \frac{1}{l n x} \leq 2$ ；③命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} \leq 0$ ”是真命题；④ $y = 2^{x} - 2^{- x}$ 是奇函数.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 设 $a = {0.5}^{0.4} ， b = \log_{0.5} 0.3 ， c = \log_{8} 0.4$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6. 函数 $f (x) = l n x - \frac{2}{x}$ 的零点所在的大致区间的（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(e ， 3)$ D、 $(e ， + \infty)$

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7. 已知 $f (x)$ 是奇函数，在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上是增函数，又 $f (- 3) = 0$ ，那么 $x f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $x > 3}$ B、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 3}$ C、 ${x | x < - 3$ 或 $0 < x < 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 0$ 或 $0 < x < 3}$

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8. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在 $[0 ， + \infty)$ 上是增函数，若 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ，则不等式 $f (\log_{4} x) > 0$ 的解集为（）

A、{x|x>2} B、 ${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$ C、{ $x | 0 < x < \frac{1}{2}$ 或x>2} D、{ $x | \frac{1}{2} < x < 1$ 或x>2}

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二、多选题

9. 下列函数中，与函数 $y = x + 1$ 是同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x + 1})}^{2}$ B、y=t+1 C、 $y = \frac{x^{2}}{x} + 1$ D、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} + 1$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 7 ， x \leq - 1 \\ x^{2} ， - 1 < x < 3 \\ 2^{x} - 4 ， x \geq 3 \end{array}$ ，若 $f (a) = 4$ ，则实数 $a$ 的值（）

A、 $- 3$ B、3 C、2 D、 $- 2$

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11. 若函数 $y = a^{x} + b - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图像不经过第二象限，则需同时满足（）

A、 $a > 1$ B、 $0 < a < 1$ C、 $b > 0$ D、 $b \leq 0$

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他的阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数．例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[1.1] = 1$ ．已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2 + x^{2}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的有（）

A、 $g (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$ D、 $g (x)$ 是 $R$ 上的减函数

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三、填空题

13. 函数 $y = l o g_{a} (x - 2) + 3 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像恒过一定点．

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14. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - a x + 4 ， x < - 1 \\ 2 a x + 2 ， x \geq - 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知 $f (x) = {\begin{cases} | x + 1 | x \leq 0 \\ | \log_{3} x | x > 0 \end{cases}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有四个根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $[(\frac{1}{2})^{- 2} - 1] \div (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} + (\sqrt{2} - 1)^{0}$ ；

(2)、 $2 l g 5 + \frac{2}{3} l g 8 + l g 5 \cdot l g 20 + {(l g 2)}^{2}$ ．

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18.

(1)、已知 $x > 3$ ，求 $\frac{4}{x - 3} + x$ 的最小值；

(2)、已知x，y是正实数，且 $x + y = 4$ ，求：① $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值；② $\frac{x + 4}{x y}$ 的最小值．

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19. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的增函数，并且满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) ， f (1) = 4 .$

(1)、求 $f (0)$ 的值.

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性.

(3)、若 $f (2 x + 3) - f (x) ＜ 8$ ，求x的取值范围.

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20. 已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图像经过点 $(- 2 ， 9)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in [- 2 ， 0]$ 时，求函数 $g (x) = a^{2 x} - a^{x} - 1$ 的值域.

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21. 已知函数 $y = f (x)$ $(x \in R)$ 是偶函数．当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[a ， a + 2]$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a > - 1$ 时，记 $f (x)$ 在区间 $[a ， a + 2]$ 上的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式．

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{x} - 1)$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a > 1$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < f (1)$ 的解集；

(3)、当 $a = 2$ 时，若不等式 $f (x) - \log_{2} (1 + 2^{x}) > m$ 对任意实数 $x \in [1, 3]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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