黑龙江省绥化市庆安县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若直线经过 $A (0 ， 1) ， B (\sqrt{3} ， 4)$ 两点，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $3 0^{o}$ B、 $4 5^{o}$ C、 $6 0^{o}$ D、 $12 0^{o}$

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2. 点 $P (2 ， 1)$ 的直线中，被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 截得的最长弦所在的直线方程为（）

A、 $3 x - y - 5 = 0$ B、 $3 x + y - 7 = 0$ C、 $x + 3 y - 5 = 0$ D、 $x - 3 y + 1 = 0$

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3. 抛物线 $y = a x^{2}$ 的准线方程是 $y = 2$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、8 D、-8

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4. 椭圆 $5 x^{2} - k y^{2} = 5$ 的一个焦点是 $(0 ， 2)$ ，那么 $k$ 等于（）

A、-1 B、1 C、 $\sqrt{5}$ D、 $- \sqrt{5}$

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5. 直线 $l ： (a + 1) x + (a - 1) y + 2 a = 0 (a \in R)$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 7 = 0$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、相交或相切

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则 $△ F M N$ 的面积为（）

A、 $\frac{8}{3} p^{2}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} p^{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} p^{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} p^{2}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $A$ 在双曲线第一象限的图象上，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为1，且 $t a n ∠ A F_{1} F_{2} = \frac{1}{2}$ ， $t a n ∠ A F_{2} F_{1} = - 2$ ，则双曲线方程为 $($ 　　 $)$

A、 $\frac{5 x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{12 x^{2}}{5} - 3 y^{2} = 1$ C、 $3 x^{2} - \frac{12 y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{5}{12} y^{2} = 1$

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二、多选题

9. 方程 $x^{2} + y^{2} + 2 a x - 2 a y = 0$ 表示的圆，则以下叙述不正确的是（）

A、关于直线 $y = x$ 对称 B、关于直线 $x + y = 0$ 对称 C、其圆心在 $x$ 轴上，且过原点 D、其圆心在 $y$ 轴上，且过原点

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10. （多选）已知方程 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示曲线 $C$ ，则（）

A、当 $1 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 一定是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 1$ 时，曲线 $C$ 一定是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $1 < t < \frac{3}{2}$ D、若曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $t > 4$

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11. 如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角 $θ = 60 °$ 的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（）

A、椭圆的长轴长为8 B、椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ D、椭圆的一个方程可能为 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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12. 已知两点 $M (1 ， \frac{5}{4})$ ， $N (- 4 ， - \frac{5}{4})$ ，则在下列曲线上存在点 $P$ 满足 $| M P | = | N P |$ 的方程有（）

A、 $4 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} = 3$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$

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三、填空题

13. 直线x+2y=0被曲线x²+y²﹣6x﹣2y﹣15=0所截得的弦长等于．

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14. 一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴，则该圆的标准方程是．

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15. 已知抛物线方程为y²＝﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ ，若双曲线上存在一点 $P$ 使 $\frac{s i n ∠ P F_{1} F_{2}}{s i n ∠ P F_{2} F_{1}} = \frac{a}{c}$ ，则该双曲线的离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 若直线 $m$ 经过直线 $x - y - 1 = 0$ 与直线 $2 x + y - 2 = 0$ 的交点，且点 $(2 ， 2)$ 到直线 $m$ 的距离为1，求直线 $m$ 的方程．

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18. 以椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点为焦点，过直线 $l ： x - y + 9 = 0$ 上一点 $M$ 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 $M$ 应在何处？求出坐标，并求出此时的椭圆方程．

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19. 已知 $⊙ C ： (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ ，点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，点 $P$ 是圆上的动点，求 $d = | P A |^{2} + | P B |^{2}$ 的最大值、最小值及对应的 $P$ 点坐标．

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20. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1

(1)、求曲线C的方程.

(2)、是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 $\vec{F A} · \vec{F B} < 0$ ?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

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21. 已知焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $C$ 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 $A (0 ， \sqrt{2})$ 为圆心，1为半径的圆相切，又知 $C$ 的一个焦点与 $A$ 关于直线 $y = x$ 对称．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = m x + 1$ 与双曲线 $C$ 的左支交于 $A$ 、 $B$ 两点，另一直线 $l$ 经过 $M (- 2 ， 0)$ 及 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距 $b$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2 ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y = k x + \sqrt{3}$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点．若直线 $x = 3$ 上存在点 $P$ ，使得四边形 $P A M N$ 是平行四边形，求 $k$ 的值．

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