河南省商丘市名校2022-2023学年高二上学期数学期中联考（A）试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x + y - 1 = 0$ 的斜率为（）

A、3 B、-3 C、1 D、-1

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = - 1$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 3 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ B、 $(0 ， - 3)$ ， $(0 ， 3)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 0)$ ， $(\sqrt{3} ， 0)$ D、 $(0 ， - \sqrt{3})$ ， $(0 ， \sqrt{3})$

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3. 直线 $x - y - 1 = 0$ 与直线 $x + y - 1 = 0$ 的交点坐标为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， - 1)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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4. 到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是（）

A、3x－4y＋4＝0 B、3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0 C、3x－4y＋16＝0 D、3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0

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5. 已知半径为2的圆经过点 $(6 ， 8)$ ，则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0$ 的直径为4，则（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 2$ C、圆心为 $(- 1 ， - 2)$ D、圆心为 $(1 ， - 2)$

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7. 直线l过点 $(0 ， 3)$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则直线l的方程为（）

A、 $3 x + 4 y - 12 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 或 $4 x + 2 y + 1 = 0$ C、 $x = 0$ D、 $x = 0$ 或 $3 x + 4 y - 12 = 0$

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8. 若圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 与圆 $C_{2} ： (x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = m$ 有且仅有一条公切线，则 $m =$ （）

A、16 B、25 C、36 D、16或36

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9. 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点（不妨设为椭圆右焦点）的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论不正确的是（）

A、卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁 B、卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 C、卫星向径的取值范围是 $[a - c ， a + c]$ D、卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间

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10. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若 $| F_{1} F_{2} | = | M N | ， | M F_{2} | = \frac{\sqrt{2}}{4} | N F_{2} |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{6 \sqrt{2} - 3}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} - 3}{7}$

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11. 已知 $A_{1} ， A_{2}$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右顶点，点P为双曲线C上异于 $A_{1} ， A_{2}$ 的任意一点，记直线 $P A_{1}$ ，直线 $P A_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ．若 $k_{1} \cdot k_{2} = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ 且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若 $| A F | = 4$ ，则以下结论不正确的是（）

A、 $p = 2$ B、F为 $A D$ 的中点 C、 $| B D | = 2 | B F |$ D、 $| B F | = 2$

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二、填空题

13. 直线l的一个方向向量为 $\vec{P_{1} P_{2}} = (2 ， 2 \sqrt{3})$ ，则它的倾斜角为．

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14. 已知直线l：x＋y＝0与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为．

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15. 已知圆 $C_{1} ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} ： (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 16$ ， M、N分别是圆 $C_{1} 、 C_{2}$ 上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为 $x_{0}$ 时 $| P M | + | P N |$ 取得最小值，则此时 $| P M | + | P N | + x_{0} =$ ．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，满足 $(\vec{O F_{1}} - \vec{O P}) \cdot (\vec{O F_{1}} + \vec{O P}) = 0$ (O为坐标原点)．若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则椭圆的离心率为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系中， $A (- 4 ， 0) ， B (0 ， 6) ， C (2 ， m)$ .

(1)、若 $A ， B ， C$ 三点共线，求 $m$ 的值；

(2)、若 $m = 0$ ，求 $△ A B C$ 外接圆圆心坐标.

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18. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (2 ， 0)$ .

(1)、求 $p$ .

(2)、斜率为1的直线过点 $F$ ，且与抛物线交于 $A ， B$ 两点，求线段 $A B$ 的长.

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19. 已知双曲线 $G$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，直线 $l ： y = k x + \sqrt{2}$ .

(1)、求双曲线 $G$ 的渐近线方程、离心率；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $G$ 有两个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 已知点 $A (1 ， 0)$ ，点B为直线 $x = - 1$ 上的动点，过B作直线 $x = - 1$ 的垂线 $l_{1}$ ，线段AB的中垂线与 $l_{1}$ 交于点P．

(1)、求点P的轨迹C的方程；

(2)、若过点 $E (2 ， 0)$ 的直线l与曲线C交于M，N两点，求 $△ M O N$ 面积的最小值．（O为坐标原点）

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21. 已知圆M的圆心在直线 $y = x$ 上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线 $l ： 2 x + y - 1 = 0$ 截得的弦长为4.

(1)、求圆M的方程；

(2)、设P是直线 $x + y + 4 = 0$ 上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.

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22. 如图，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0 ， - 1)$ ，且长轴长是短轴长的 $2$ 倍．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、经过点 $(2 ， 1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P$ 、 $Q$ （均异于点 $A$ ），求证：直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和为定值．

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