广东省惠州市博罗县2022-2023学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-12-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ， $\vec{b} = (1 ， 5 ， - 1)$ ，则 $3 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 8 ， 11 ， 14)$ B、 $(- 9 ， 3 ， 15)$ C、 $(- 10 ， 1 ， 16)$ D、 $(0 ， 13 ， 2)$

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2. 已知圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，其圆心坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 若直线 $y = a x + c$ 经过第一、二、三象限，则有（）

A、 $a > 0 ， c > 0$ B、 $a > 0 ， c < 0$ C、 $a < 0 ， c > 0$ D、 $a < 0 ， c < 0$

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4. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 若直线 $l$ 的方向向量为 $x = - a - 1$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 6 ， 2 ， - 4)$ ，则（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l ∥ α$ C、 $l ⊂ α$ D、 $l$ 与 $α$ 斜交

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6. 设x， $y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， y ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 4 ， 2)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、4

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7. 已知 $A (0 ， 2)$ ， $B (2 ， 1)$ ，过点 $C (1 ， 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线l与线段AB有公共点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 1]$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [1 ， + \infty)$

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8. 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（）

A、2x＋3y－12＝0 B、2x＋3y＋12＝0 C、3x－2y－6＝0 D、2x＋3y＋6＝0

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， - 2 ， - 4) ， \vec{b} = (6 ， - 3 ， 2)$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10 ， - 5 ， - 2)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2 ， - 1 ， 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ D、 $| \vec{a} | = 6$

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10. 已知直线 $l_{1} ： m x + 2 y + 1 = 0 ， l_{2} ： x + (m + 1) y + 1 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m = - 2$ B、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $m = 1$ 或 $m = - 2$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m = - \frac{2}{3}$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m = \frac{2}{3}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B、直线 $y = x + 1$ 与直线 $y = x + 2$ 的距离为1 C、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3} A D = \sqrt{3} A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点P是线段 $A_{1} C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、当 $\vec{A_{1} C} = 2 \vec{A_{1} P}$ 时，A、P、 $D_{1}$ 三点共线 B、当 $\vec{A P} ⊥ \vec{A_{1} C}$ 时， $\vec{A P} ⊥ \vec{D_{1} P}$ C、当 $\vec{A_{1} C} = 3 \vec{A_{1} P}$ 时， $D_{1} P / /$ 平面 $B D C_{1}$ D、当 $\vec{A_{1} C} = 5 \vec{A_{1} P}$ 时， $A_{1} C ⊥$ 平面 $D_{1} A P$

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三、填空题

13. 直线 $3 x + 4 y + 12 = 0$ 的斜率为．

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14. 我国近代数学家苏步青主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，在仿射微分几何学和射影微分几何学等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是发现了四次代数锥面：对于空间中的点P（x，y，z），若其坐标满足关于x，y， z的四次代数方程式，称点P的轨迹为四次代数曲面．若点K（1，k，0）是四次曲面 $Γ$ ： $x^{4} + y^{3} + z^{2} = 9$ 上的一点，则k＝．

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15. 过直线 $2 x + y - 3 = 0$ 和直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的交点，且斜率为-1的直线的一般式方程为.

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16. 如图所示，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，侧棱 $A A_{1}$ 的长为2， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 120 °$ .若 $\overset{⇀}{A C_{1}} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A D} + z \overset{⇀}{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ ；则 $A C_{1}$ 的长为.

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四、解答题

17. 已知平面直角坐标系内两点A（4，0），B（0，3）.

(1)、求直线AB的方程；

(2)、若直线l平行于直线AB，且到直线AB的距离为2，求直线l的方程.

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18. 根据下列条件求圆的方程：

(1)、圆心在点O（0，0），半径r＝3；

(2)、圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）；

(3)、以点A（2，5）、B（4，1）为直径．

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19. 已知 $\vec{a} = (1 ， 4 ， - 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 2 ， 4)$ ．

(1)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{c} = \frac{1}{2} \vec{b}$ ，求 $c o s 〈 \vec{a} ， \vec{c} 〉$ 的值．

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为2，M、N分别为 $A_{1} B$ 、AC的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 所成角的大小．

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21. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 5$ ， E，F分别为 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的点，且 $D E = B_{1} F = 1$ ．

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面ACF：

(2)、求点B到平面ACF的距离．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B M N$ 中， $△ P N M$ 是边长为2的正三角形， $A N ⊥ N P$ ， $A N ∥ B M$ ， $A N = 3$ ， $B M = 1$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $C$ ， $D$ 分别是线段 $A B$ ， $N P$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A N M B ⊥$ 平面 $N M P$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A B P$ 所成角的正弦值.

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