高二数学期末考试模拟试卷选修第一册--选修第二册数列部分

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$ 的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2. 已知双曲线的一条渐近线的方程是 $y = 2 x$ ，且焦点 $F$ 到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 或 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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3. 如图所示，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (4 ， 2 ， m)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{14}{3}$ B、 $\frac{13}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、 $\frac{17}{3}$

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5. 已知直线 $3 x - 4 y + 3 = 0$ 与直线 $6 x + m y - 14 = 0$ 平行，则它们之间的距离是（）

A、 $\frac{17}{5}$ B、2 C、 $\frac{17}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S₃＝6，S₄＝12，则S₇＝（）

A、30 B、36 C、42 D、48

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7. 若直线 $l ： k (x - 2) + y - 1 = 0$ 与曲线 $C ： y = - 1 - \sqrt{- x^{2} + 6 x - 5}$ 有交点，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2}{3} ， 2]$ B、 $[- 2 ， \frac{2}{3}]$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}] ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [\frac{2}{3} ， + \infty)$

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8. 设 $F$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $△ F O H$ 的内切圆与 $x$ 轴切于点 $B$ ，且 $\vec{B F} = 3 \vec{O B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2 + 2 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{7}}{3}$

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = - n^{2} + 9 n (n \in N^{*})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $a_{4} + a_{6} = 0$ C、 $a_{9} < a_{10}$ D、 $S_{n}$ 有最大值 $\frac{81}{4}$

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10. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B B_{1}$ 的中点，F为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、 $D B_{1} = 3 \sqrt{2}$ B、向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A C_{1}}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、平面AEF的一个法向量是 $(4 ， - 1 ， 2)$ D、点D到平面AEF的距离为 $\frac{8 \sqrt{21}}{21}$

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11. 下列说法中，正确的有（）

A、直线 $y = 3 x - 2$ 在y轴上的截距是2 B、直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 3 a - 2 = 0$ 与 $l_{2} ： x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为1 C、若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3 D、过点 $P (1 ， 2)$ 且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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12. 已知左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为e，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为P，则下列说法中正确的有（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为4a B、若直线OP的斜率为 $k_{1}$ ， AB的斜率为 $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{a^{2}}{b^{2}}$ C、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 5 c^{2}$ ，则e的最小值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、若 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 6 c^{2}$ ，则e的最大值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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三、填空题

13. 直线 $l$ ： $y = 3 x - 4$ 被圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 18$ 截得的弦长为.

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14. 已知拋物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，过 $A$ 作准线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $∠ H F B$ 被 $x$ 轴平分，则直线 $A B$ 的斜率为.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3 ， \sqrt{a_{n + 1}} = \sqrt{a_{n}} + \sqrt{3}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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16. 若 $\vec{a} = (- 1 ， λ ， - 2)$ 与 $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 1)$ 的夹角为120°，则 $λ$ 的值为．

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D A = 2$ ， $D C = 1$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $Q$ 在 $P M$ 上，且 $P Q = 2 Q M$ .

(1)、证明： $D Q ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求平面 $P A M$ 与平面 $P D C$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 3 a_{1}$ ， $S_{2 n} = 4 S_{n} - 4 n$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 在平面直角坐标系中，已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ ，直线 $l$ 的方程为 $x - 2 y + m = 0$ ，点 $A (- 1 ， 0)$ ．

(1)、若 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $m$ 的值；

(2)、若过点 $A$ 的直线 $l^{'}$ 截得圆 $C$ 的弦长 $| M N | \geq \sqrt{3}$ ，求 $l^{'}$ 的斜率的取值范围．

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20. 已知点 $A (0 ， - 2)$ ，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $A F$ 的斜率为2， $O$ 为坐标原点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设过点 $P (0 ， - \sqrt{3})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两 $M$ 、 $N$ ，且 $| M N | = \frac{8 \sqrt{2}}{7}$ ，求 $k$ 的值.

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21. 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁ ， F₂在坐标轴上，离心率为 $\sqrt{2}$ ，且过点 $(4, - \sqrt{10})$ ．点M(3，m)在双曲线上．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、求证： $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ；

(3)、求△F₁MF₂的面积．

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