山东省济南市历下区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各点中，在第四象限的是（）

A、 $(2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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2. 下列函数中，是一次函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、y=3x+1 C、 $y = k x + b$ D、 $y = \frac{3}{x}$

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3. 若 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $x - m y = 13$ 的一个解，则m的值是（）

A、5 B、-5 C、8 D、-8

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4. 根据下列表述，能确定准确位置的是（）

A、万达影城3号厅2排 B、经十路中段 C、南偏东 $40 °$ D、东经 $117 °$ ，北纬 $36 °$

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5. 对于一次函数 $y = - x + 3$ 的图像与性质，下列结论正确的是（）

A、函数值随自变量增大而增大 B、函数图象与x轴交于负半轴 C、函数图象不经过第三象限 D、函数图象与y轴交于负半轴

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6. 下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；③水箱以 $0.8 L / m i n$ 的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 若点 $P (2 ， b)$ 和点 $Q (a ， - 3)$ 关于y轴对称，则 $a + b$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-5 D、5

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8. 《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章，其中第八章“方程”篇中记载了这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱80．如果乙得到甲所有钱的 $\frac{2}{3}$ ，那么乙也共有钱80．若设甲、乙原本各持钱x，y，则根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + y = 80 \\ x + \frac{2}{3} y = 80 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 80 \\ 3 x + y = 80 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 80 \\ x + 3 y = 80 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} y = 80 \\ \frac{2}{3} x + y = 80 \end{array}$

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9. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与 $y = \frac{1}{2} x - k$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（）分钟后两机器人最后一次相距6米．

A、6 B、6.4 C、6.8 D、7.2

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11. 一个三角形可以被剖分为两个等腰三角形，已知原三角形的一个内角为36°，则原三角形最大内角的所有可能值的总和是（）

A、 $528 °$ B、 $526 °$ C、 $538 °$ D、 $536 °$

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12. $9^{1003} - 7^{902} + 3^{801}$ 的个位数字是（）

A、0 B、3 C、6 D、9

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二、填空题

13. 点 $(0 ， 2)$ 到x轴的距离为．

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14. 如图，若“购物中心”用C3表示，则“实验中学”可以表示为．

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15. 一次函数 $y = x - 1$ 的图像向上平移3个单位后与y轴的交点是．

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16. 已知一次函数 $y = 3 x - 1$ 与 $y = 2 x$ 图象的交点是 $(1 ， 2)$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - y = 1 \\ 2 x - y = 0 \end{array}$ 的解是．

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17. 根据如图中两人的对话记录可知，篮球的原价（打折前的价格）为元．

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18. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点 $O (0 ， 1)$ 按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到 $O_{1} (1 ， 1)$ ，再将 $O_{1} (1 ， 1)$ 关于x轴做轴对称从而得到 $O_{2} (1 ， - 1)$ ．若点 $A (0 ， - 1)$ 经过“0101……01”共2022次变换后得到点 $A_{2022}$ ，则点 $A_{2022}$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 请用指定的方法解下列方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} m - \frac{n}{2} = 2 ， \\ 2 m + 3 n = 12 . \end{array}$ （代入法）

(2)、 ${\begin{array}{l} 6 s - 5 t = 3 ， \\ 6 s + t = - 15 . \end{array}$ （加减法）

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20. ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$ 是二元一次方程 $a x - 3 y = 2$ 和 $2 x + y = b$ 的公共解，求a与b的值．

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21. 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，设每块长方形地砖的长为 $x c m$ ，宽为 $y c m$ ．请求出每块地砖的长与宽．（应用二元一次方程组解决）

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22. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形） $A B C$ 的顶点A，B的坐标分别为 $(- 2 ， 3)$ ， $(- 2 ， - 2)$ ．
⑴请在网格平面内画出平面直角坐标系；
⑵若点C的坐标为 $(3 ， 5)$ ，请标出点C，并画出 $△ A B C$ ；
⑶请画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑷直接写出 $△ A B C$ 的面积为 ▲ ．

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23. 如图，直线 $l$ 是一次函数 $y = k x + b$ 的图像，且经过点 $A (0 ， 1)$ 和点 $C (3 ， - 3)$

(1)、求k和b的值；

(2)、求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积．

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24. 小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买 $10$ 本以上，从第 $11$ 本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的 $8.5$ 折卖．

(1)、分别写出两商店优惠后的价格y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；

(2)、小明要买 $22$ 本练习本，到哪个商店购买较省钱？请说明理由．

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25. 在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y + z = 4 ① \\ 7 x + 5 y + 3 z = 10 ② \end{array}$ ，求 $x + y + z$ 的值．
解：① $\times 2$ 得： $6 x + 4 y + 2 z = 8$ ③
② $-$ ③得： $x + y + z = 2$
∴ $x + y + z$ 的值为2．

(1)、已知 ${\begin{array}{l} x + 2 y + 3 z = 10 \\ 5 x + 6 y + 7 z = 26 \end{array}$ ，求 $3 x + 4 y + 5 z$ 的值；

(2)、马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买 $40$ 本笔记本、 $20$ 支签字笔、 $4$ 支记号笔需要 $488$ 元．通过还价，班委购买了 $80$ 本笔记本、 $40$ 支签字笔、 $8$ 支记号笔，只花了 $732$ 元，请问比原价购买节省了多少钱？

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26. 在平面直角坐标系中， $P (a ， b)$ ， $Q (c ， d)$ ，对于任意的实数，我们称点 $K (k c - k a ， k d - k b)$ 为点P和点Q的 $k$ 系点 $(k \neq 0)$ ．例如：已知 $P (1 ， - 2)$ ， $Q (3 ， 1)$ ，点P和点Q的2系点为 $K (4 ， 6)$ ．已知 $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， - 3)$ ．

(1)、点 $A$ 和点 $B$ 的3系点的坐标为（直接写出答案）；

(2)、已知点 $C (2 ， m)$ ，若点 $B$ 和点 $C$ 的 $k$ 系点为点 $D$ ，点 $D$ 在第二、四象限的角平分线上．
①求 $m$ 的值；
②连接 $C D$ ，若 $C D ∥ x$ 轴，求 $△ B C D$ 的面积．

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27. 为落实“双减”政策，老师布置了一项“编题”作业给小亮、小莹和小明的学习小组：“请结合图象创设情境，加入适当的条件，设计一道数学问题，并作出合理的解释”以下是老师参与下的学习小组活动片段：
【观察图象】
如图，是老师在平面直角坐标系中画出的图象，请同学们结合图象创设背景；
【创设背景】
小莹说：“可以创设这样的背景：一辆货车从甲地行驶到乙地去拉货，到达乙地后旋即返回，这里横坐标表示行驶的时间，单位是小时，纵坐标表示货车与甲地的距离，单位是千米．”
小亮说：“显然去时的速度快于返回的速度，可设去乙地的速度为 $60 k m / h$ ，返回甲地的速度为 $30 k m / h$ ．”
小明说：“还应该给出条件，甲乙两地间的距离为 $120$ 千米．”
老师说：“非常好，这样就可以试着提出问题了．”
【提出问题】
小莹说：“可以求货车从甲地去乙地的时间是多少！”
小亮说：“可以问A，B两点的坐标是多少！”
小明说：“可以问货车何时距离甲地 $30 k m$ !”
老师说：“大家的想法真好，就按大家的设计吧，下面可以概括出题了！”
请结合以上对话，回答问题．在学习小组设计的问题中：

(1)、货车从甲地去乙地时间为h；

(2)、请求出图中A，B两点的坐标．

(3)、当货车距离甲地 $30 k m$ 时，行驶的时间是多少？

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28. 如图，直线 $y = k x + 6$ 交y轴于点A，交x轴负半轴于点B，且 $O A = 3 O B$ ， P是直线AB上的一个动点，点C的坐标为 $(6 ， 0)$ ，直线 $P C$ 交y轴点于D，O是原点．

(1)、求k的值；

(2)、直线 $A B$ 上是否存在一点P，使得 $△ O C D$ 与 $△ A O B$ 是全等的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、当点P在射线 $B A$ 上运动时，连接 $O P$ ，是否存在点P，使得 $△ O P C$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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29. 求 $y = | \frac{1}{x} - [\frac{1}{x} + \frac{1}{2}] |$ 的最大值，并求此时的x的值．其中 $[\frac{1}{x} + \frac{1}{2}]$ 表示不超过 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2}$ 的最大整数．

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