山西省临汾市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-12-20 类型：期中考试

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一、单选题

1. 计算 $(\sqrt{2})^{2}$ 的结果为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2. 下列各组中的四条线段成比例的是（）

A、4、2、1、3 B、1、2、3、5 C、3、4、5、6 D、1、2、2、4

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3. 我们在解一元二次方程 $(x + 1)^{2} - 9 = 0$ 时，先将等号左边利用平方差公式进行因式分解，得到 $(x + 1 + 3) (x + 1 - 3) = 0$ ，再把它转化为两个一元一次方程 $x + 1 + 3 = 0$ 或 $x + 1 - 3 = 0$ ，进而解得 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = 2$ ，这种解方程的过程体现出来的数学思想是（　　）

A、抽象的思想 B、数形结合的思想 C、公理化的思想 D、转化的思想

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4. 若 $\frac{m + n}{m} = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{3}$

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5. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{6} = 3$ B、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = 3 \frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

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6. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， $A D$ 和 $C B$ 相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米， $A B ∥ C D$ ，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　）

A、0.8米 B、0.86米 C、0.96米 D、1米

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7. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，配方后所得的方程是（　　）

A、 ${(x + 2)}^{2} = - 5$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 15$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 3$

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8. 如图，E是 $▱ A B C D$ 的边 $D A$ 的延长线上的一点，连接 $C E$ ，交边 $A B$ 于点P．若 $\frac{A P}{C D} = \frac{2}{5}$ ，则 $△ A E P$ 与 $△ B C P$ 的周长之比为（　　）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 关于一元二次方程 $x^{2} + k x - 9 = 0$ （k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能确定根的情况

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， E，F分别是 $A D$ ， $D C$ 的中点，连接 $B E$ ， $B F$ ， $E F$ ，点P为边 $B E$ 上一点，过点P作 $P Q ∥ E F$ ，交 $B F$ 于点Q，若 $\frac{S_{△ B P Q}}{S_{△ B E F}} = \frac{1}{2}$ ，则 $P Q$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. $\sqrt{\frac{5}{16}}$ 化为最简二次根式是．

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12. 蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为（5，3），则其关于y轴对称的点B的坐标为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $A B$ 上一点， $A D = A C$ ， $A E ⊥ C D$ ，垂足为E，F是 $B C$ 的中点， $E F = 3$ ，则 $B D$ 的长为．

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14. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（ $C M ⊥ D M$ ， $B D ⊥ D M$ ， $B C$ 与 $D M$ 相交于点O），已知 $O M = 4$ 米， $C O = 5$ 米， $D O = 3$ 米， $A O = \sqrt{73}$ 米，则汽车从A处前行的距离 $A B =$ 米时，才能发现C处的儿童．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ B = 72 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，若 $C D = 1$ ，则 $A C$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $| - \sqrt{6} | + (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ ；

(2)、解方程： $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ ．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， E是边AC上一点，且 $B E = B C$ ，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ．

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18. 某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱．

(1)、求七，八两月的月平均增长率；

(2)、九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？

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19. 如图，在平面直角坐标系内， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2 ， 1)$ ， $B (1 ， 3)$ ， $C (4 ， 2)$ （网格中每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，相似比为2．

(1)、请在第一象限内画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D的坐标．

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20. 阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数 $F (n)$ 可以表示为 ${(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n - 1} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n - 1}$ ，其中 $n \geq 1$ ．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）
任务：

(1)、卢卡斯数列中的第1个数 $F (1) =$ ，第2个数 $F (2) =$ ；

(2)、卢卡斯数列有一个重要特征：当 $n \geq 3$ 时，满足 $F (n) = F (n - 1) + F (n - 2)$ ．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数 $F (6)$ ．

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21. 如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形 $A B C D$ 是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边 $A D$ 固定， $A D ⊥$ 直线l，连杆 $A B$ 、 $C D$ 分别绕点A、D转动，且边 $B C$ 始终与边 $A D$ 平行，P为 $C D$ 上的一点（不与点C，D重合），过点P作 $P E ⊥$ 直线l， $P F ⊥ M N$ ，垂足分别为E，F，即四边形 $P E N F$ 是矩形，过点D作 $D Q ⊥ P E$ ，垂足为Q，延长 $B C$ 与 $P F$ 相交于点R．

(1)、 $△ P D Q$ 与 $△ C P R$ 相似吗？请判断并说明理由．

(2)、若道闸长 $A B = 4$ 米，宽 $A D = 1$ 米，点D距地面 $0.2$ 米， $P E = 1.16$ 米， $R F = 0.8$ 米， $C R = 1.44$ 米．
①求点B到地面l的距离；

②求 $P F$ 的长．

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22. 综合与实践
问题情境：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点B顺时针旋转得到 $R t △ E B D$ ，连接 $A E$ ，连接 $C D$ 并延长交 $A E$ 于点F．

(1)、猜想验证：
试猜想 $△ C B D$ 与 $△ A B E$ 是否相似？并证明你的猜想．

(2)、探究证明：
如图，连接 $B F$ 交 $D E$ 于点H， $A B$ 与 $C F$ 相交于点G， $\frac{D H}{B H} = \frac{F H}{E H}$ 是否成立？并说明理由．

(3)、拓展延伸：
若 $C D = E F$ ，直接写出 $\frac{B C}{A B}$ 的值．

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23. 綜合与探究
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点M从点A开始沿 $A C$ 边向点C以 $1 c m / s$ 的速度运动，点N从点C开始沿 $C B$ 边向点B以 $1.2 c m / s$ 的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若 $A C$ ， $B C$ 的长是 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的两根（其中 $A C ＜ B C$ ，单位： $c m$ ）．

(1)、求 $A C$ ， $B C$ 的长；

(2)、如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后， $△ M C N$ 的面积为 $3 c m^{2}$ ？

(3)、如果点M，N分别从点A，C同时出发， $△ M C N$ 是否能和 $△ A B C$ 相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请说明理由．

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